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2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(文)
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设命题，则为（）
3.对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（）
4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）
6.若圆与圆相切，则（）
7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）
A.B.C.D.
8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
A.1B.2C.3D.4
9.若，则（）
A.B.
C.D.
10.在平面直角坐标系中，为原点，，,，动点满足,则的取值范围是（）
A.B.
C.D.
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.复数（为虚数单位）的实部等于_________.
12.在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为___________.
13.若变量满足约束条件，则的最大值为_________.
14.平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若
机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是___________.
15.若是偶函数，则____________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.
16.（本小题满分12分）
已知数列的前项和.
（I）求数列的通项公式；
（II）设，求数列的前项和.
17.（本小题满分12分）
某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年
研发新产品的结果如下：
其中分别表示甲组研发成功和失败；分别表示乙组研发成功和失败.
（I）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研
发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（II）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.
18.（本小题满分12分）
如图3，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，，是的中点，面，垂足为.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
19.（本小题满分13分）
如图4，在平面四边形中，,
（1）求的值；
（2）求的长
20.（本小题满分13分）
如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
（1）求的方程；
（2）是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且证明你的结论.
21.（本小题满分13分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有
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