2017年北京高考理科数学试题答案与解析（word版）
2017年北京高考理科数学试题难度：（五颗为很难）
2017年北京高考理科数学试题答案与解析
绝密本科目考试启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。学科&网考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A={x|-2x1}，B={x|x-1或x3}，则AB=
（A）{x|-2x-1}（B）{x|-2x3}
（C）{x|-1x1}（D）{x|1x3}
【答案】A
【解析】，故选A.
（2）若复数（1-i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
（A）（-∞，1）（B）（-∞，-1）
（C）（1，+∞）（D）（-1，+∞）
【答案】B
【解析】，因为对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）2（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】时，成立，第一次进入循环，成立，第二次进入循环，，成立，第三次进入循环，否，输出，故选C.
（4）若x，y满足则x+2y的最大值为
（A）1（B）3
（C）5（D）9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
（5）已知函数，则
（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数
（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.
（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么，反过来，若，那么两向量的夹角为，学科网并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A）3（B）2（C）2（D）2
【答案】B
【解析】几何体是四棱锥，如图
红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，，故选B.
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033（B）1053
（C）1073（D）1093
【答案】D
【解析】设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若双曲线的离心率为，则实数m=_________.
【答案】2
【解析】
（10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=-1，a4=b4=8，则=_______.
【答案】1
【解析】
（11）在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________.
【答案】1
【解析】，所以
（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.
【答案】
【解析】
（13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．
【答案】-1，-2，-3
解析】
（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.
【答案】；
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在△ABC中，=60°，c=a.
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.
【答案】
（1）根据正弦定理
（2）当时
△ABC中
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（I）求证：M为PB的中点；
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【答案】
（1）连接AC，BD..连接OM
∵PD∥平面MAC且平面PBD平面MAC=MO
∴PD∥MO
∵O为BD中点
∴M为PB中点
（2）取AD中点E，连接PE
∵PA=PD
∴PE⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD平面ABCD=AD
∴PE⊥平面ABCD
建立如图所示坐标系
则B(-2，4，0)P(0，0，)D(2，0，0)A(-2，0，0)
易知平面PDA的法向量
设平面BPD的法向量，则
∴
∴二面角B-PD-A的平面角
（17）（本小题13分）
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机学科网.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；学￥科网
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
分布列如下
012
p
，即所求数学期望为1.
（Ⅲ）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大。
（18）（本小题14分）
已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】
（Ⅰ）把P（1,1）代入y2=2Px得P=∴C:y2=x∴焦点坐标（，0）准线：x=-。
（Ⅱ）设l：y=kx+，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=，由题知A(x1，x1)，B(x1，)
k2x2+（k-1）x+=0，x1+x2=，x1·x2=。
，由x1+x2=，x1x2=，
上式∴A为线段BM中点。
（19）（本小题13分）
已知函数f（x）=excosxx.
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值.
【答案】
（Ⅰ）f(x)=ex·cosx－x∴f(0)=1
∴f(x)=ex（cosx－sinx）－1
f(0)=0
∴y=f(x)在（0，f(0)）处切线过点（0,1），k=0
∴切线方程为y=1
（Ⅱ）f(x)=ex（cosx-sinx）－1，设f(x)=g(x)
∴g(x)=－2sinx·ex≤0∴g(x)在［0，］上单调递减，
∴g(x)≤g(0)=0∴f’（x）≤0∴f(x)在［0，］上单调递减，
f(x)max=f(0)=1
∴f(x)min=f()=－
（20）（本小题13分）
设和是两个等差数列，记
，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．
【答案】
（Ⅰ）当时，
所以，对于且，都有，只需比较与其他项的大小比较
当且1<k<n时，
=（1-k）n+2(k-1)=（k-1）(2-n)
因为k-1>0,且2-n<0,所以
所以对于且=1-n
所以
又
所以是以首项d=-1为公差的等差数列。
（Ⅱ）
（1）设、的公差为，对于
其中任意项（,1<i<n）
①若
则对于给定的正整数n，
此时，故数列为等差数列
②若
则对于给定正整数n，
此时，∴数列为等差数列
(3)若此时为一个关于n的一次函数，
故必存在，当n≥S，
则当n≥S时，
因此当n≥S时，
此时，
令,,
下证：对任意正数M，存在,学%科%网当n≥m时
①取取([x]取不大于x的整数)
n≥m时，=A()+B＞A
成立
②若C＜0，取
当n≥m时，
成立
综上，对任意正整数M存在，当n≥m时
命题得证.
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