倍数和因数的教案大全（18篇）
教案是教师解决教学问题、提高教学效果的重要手段之一。"编写一份好的教案需要考虑教学目标的合理设置、教学步骤的详细安排、教学资源的充分利用以及评价手段的科学设计。"以下是小编为大家整理的教案范文，供大家参考和借鉴。
倍数和因数的教案篇一
1、精简概念，减轻学生记忆负担。
三方面的调整：
a。不再出现“整除”概念，直接从乘法算式引出因数和倍数的概念。
b。不再正式教学“分解质因数”，只作为阅读性材料进行介绍。
c。公因数、公因数、公倍数、最小公倍数移至“分数的意义和性质”单元，作为约分和通分的知识基础，更突出其应用性。
2、注意体现数学的抽象性。
数论知识本身具有抽象性。学生到了高年级也应注意培养其抽象思维。
倍数和因数的教案篇二
一个数因数的求法和一个数倍数的求法（教材第6页例2、例3，教材第7～8页练习二第2～8题）。
1.通过学习使学生掌握找一个数的因数，倍数的方法；
2.学生能了解一个数的因数是有限的，倍数是无限的；
3.能熟练地找一个数的因数和倍数；
4.在解决问题的过程中，培养学生思维的有序性、条理性，增强学生的探究意识和求索精神。
掌握找一个数的因数和倍数的方法，能熟练地找一个数的因数和倍数。
说出下列各式中谁是谁的因数？谁是谁的倍数？20÷4＝56×3＝18。
在上面的算式中，6和3都是18的因数，你知道还有哪些数是18的因数吗?18是3的倍数，你知道还有哪些数是3的倍数吗?这节课我们就来学习如何找一个数的因数和倍数。
（一）找因数：
1.出示例1：18的因数有哪几个？
一个数的因数还不止一个，我们一起找找18的因数有哪些？
学生尝试完成后汇报。
（18的因数有：1，2，3，6，9，18）教师：说说看你是怎么找的？（生：用整除的方法，18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，18÷4＝…；用乘法一对一对找，如1×18＝18，2×9＝18…）。
教师：18的因数中，最小的是几？最大的是几？我们在写的时候一般都是从小到大排列的。
2.用这样的方法，请你再找一找36的因数有哪些？
举错例（1，2，3，4，6，6，9，12，18，36）。
教师：这样写可以吗？为什么？（不可以，因为重复的因数只要写一个就可以了，所以不需要写两个6）。
仔细看看，36的因数中，最小的是几，最大的是几？
教师板书:一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
3.你还想找哪个数的因数？（18、42……）请你选择其中的一个在自练本上写一写，然后汇报。
从最小的自然数1找起，也就是从最小的因数找起，一直找到它的本身，找的过程中一对一对找，写的时候从小到大写。
（二）找倍数：
教师：这样写可以吗？为什么？应该怎么改呢？
教师：表示一个数的倍数情况，除了用这种文字叙述的方法外，还可以用集合来表示2的倍数，3的`倍数，5的倍数。
教师：我们知道一个数的因数的个数是有限的，那么一个数的倍数个数是怎么样的呢？
（一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数）。
1.完成课本第7页练习二第2～5题。
2.完成教材第8页练习二第6～8题。
我们一起来回忆一下，这节课我们重点研究了一个什么问题？你有什么收获呢？
一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
本节课是在学生认识因数和倍数的基础上进行教学的，在找一个数的因数时，如何做到既不重复又不遗漏，对于刚刚对因数和倍数有感性认识的学生来说有一定的困难，教学时充分发挥小组学习的优势，在小组交流的过程中，学生对自己的方法进行反思，吸取同伴的好方法，很好的体现了自主探索和合作交流的教学理念。
倍数和因数的教案篇三
7--16页的学习内容。
1.进一步学习求一个数的所有因数和倍数;掌握一般方法，学会用常见的几种形式表达。
2.经过多次的求解经历过程，在事实面前让学生进一步明确因数是可数的，自然得出因数的个数是有限的，其中最大的因数自己；而倍数是无法写完全，也就是说倍数的个数是无限的，其中最小的倍数也是自己。
掌握求一个数的因数和倍数的常用方法及常用的几种书写表达形式。
完整地求出一个数的因数和倍数。
实物投影。
口答：
根据下面算式，说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数？
4×9=3625×40=100032×7=224。
解答题：
18的因数有哪些？10是哪些数的倍数？
典型例题：
1.教学：
（1）你还能找出18的因数码？并说出你的找法（要板书）。
（2）小比赛。看谁既快又能完整地把30和36所有因数找出来（基础练习）？
（3）分享冠军经验（介绍方法）。
（4）我们再来一次寻找32和48的所有因数的比赛（基础练习）？
（5）请你试着把18所有找出的因数表述出来。（如果学生能用常见的两种表达最好；如果不能需要教师的引导）。
第一种习惯书面表达形式。18的'因数有（有可能是乱的）：
第二种集合图的书面表达形式。18的因数。
（6）通过眼看，自我感觉调整这些因数最好按序排列。
第一种习惯书面表达形式。18的因数有（按大小顺序）：
第二种集合图的书面表达形式。18的因数。
（7）做基础练习第2题。
小结：
1.寻找的方法。
2.能否找全？
3.教学。
（1）让学生自己尝试找。
（2）有没有发什么问题？如何解决？
（3）如何表达？
（4）找出3和5的倍数。
小结：
1.寻找的方法。
2.能否找全？
基础练习：
1.用尽快的速度找出30、36、32和48的所有因数？
2.填空。30的因数有：36的因数有：
3.5的倍数有：3的倍数。
提高练习：
1.分别写出17的因数和倍数，再写出28。
拓展练习：数学小知识：了解完全数。
有的学生认为某个数的最小倍数是0倍，因此最小倍数是0。要向学生强调，小学阶段学倍数不涉及到0，因此，某个数的最小倍数应该是它的1倍。
倍数和因数的教案篇四
知识与技能、过程与方法：
从操作活动中理解因数和倍数的意义，会判断一个数是不是另一个数的因数或倍数。
2、培养学生抽象、概括的能力，渗透事物之间相互联系、相互依存的观点。
3、培养学生的合作意识、探索意识，以及热爱数学学习的情感。
1、因数与倍数意义以及它们的相互依存关系。
2、寻找一个数的因数或倍数的方法。
教学准备：课件
教学流程：
流程1：导入新课
流程2：认识倍数和因数
流程3：探索求一个数的因数的方法
流程4：完成“试一试”，总结一个数因数的特点
流程5：探索求一个数的倍数的方法
流程6：完成“试一试”，总结一个数倍数的特点
流程7：完成智慧乐园
流程8：完成质疑乐园
流程9：数学游戏
流程11：课堂小结
流程10：组织学生退场
第一段：导入新课
流程1：导入新课
师：课前我们先来做个脑筋急转弯，看看谁最聪明?
(学生发表自己的看法)
今天，我们就把这三个人请到我教室里来好吗?(课件出示图片)你能不能以大李为中心，来介绍一下小老和老李。(学生说一说)
师：我们能不能单独地来说，大李是爸爸?(不能)为什么?
引出相互依存(板书)
第二段：认识倍数和因数
流程2：认识倍数和因数
(一)学习因数和倍数的概念
1、用课前准备的12张同样大的正方形纸片拼成一个长方形。前后四人一组
要求：
(1)、看一共能摆出几种完全不同的长方形。
(2)、想一想怎样用乘法算式表示你的摆法。
(3)、为了便于展示，请在你的课本反面来摆。
(学生动手操作、汇报)
师：请你用乘法算式表示你的摆法?
生：1×12=12 2×6=12 3×4=12
师：为了避免重复，我们可经只选择其中一个算式。我们以前学过，在乘法算式里，乘号前面和后面的数都叫什么?(因数)等号后面的数叫什么?(积)这里的因数和积是乘法算式各部分的名称。其实，因数和积之间就存在我们课前提到的相互依存关系。以3×4=12为例，数学上说12是4的倍数，12也是3的倍数，4和3都是12的因数。这里因数和倍数就具有相互依存的关系。不能孤立地说3是因数，也不能孤立地说12的倍数，这就是今天这节课我们研究：倍数和因数。
师：那根据另外两个乘法算式，同学们会说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数吗?请同桌相互说一说(学生活动)。
老师这是里有两道算式，你会说吗?
8×9=72 18÷3=6
(请学生来说一说)
师：同学们，倍数、因数指的是两个自然数之间的一种关系，所以我们一定要说清楚谁是谁的倍数，谁是谁的因数，老师还要补充说一点，为了方便，我们在研究时，所说的数一般指不是0的自然数。
第三段：探索求倍数和因数的方法
流程3：探索求一个数的因数的方法
师：同学们怎样找一个数的因数呢?同学们愿意独立思考，尝试解决吗?面对新问题，看看谁能挑战成功。
师：你能找出36所有的因数吗?请同学们试着在练习本上写一写。
(学生活动)学生汇报
师：从1开始，想哪两个数相乘得36，我们就可以成对地写出36的因数，一直找到两个乘数最接近为止。解决这个问题首先要考虑什么样的数是36的因数。如果有两个数相乘的积是36，那么这两个数都是36的因数。例如，1×36=36，那么1和36都是36的因数。
师：看看老师的填法和你一样吗?
师：求一个数的因数，可以想乘法算式，也可以想除法算式，但都要有序思考，做到不重复、不遗漏。
流程4：完成“试一试”，总结一个数的因数的特点
师：下面请同学们用你喜欢或熟悉的方法写出你自己所喜欢的数字的因数。(学生活动)相机寻找学生板书。
师：通过观察上面同学所写的数的因数，你发现了什么?学生说一说(完成表格)
师小结：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身;一个数因数的个数是有限的。
写出你的学号的所有因数。
流程5：探索求一个数的倍数的方法
师：同学们先想一想，什么样的数是3的倍数?怎样才能准确地写出3的倍数?把你的想法和小组里的同学交流一下。(学生活动)
师：同学们一定能想到，3的倍数就是3和除0以外的一个自然数相乘的积。例如3×1=(3)，3×2=(6)，3×3=(9)，括号里的数都是3的倍数。这样我们按从小到大的顺序，用乘法就可以有条理地说出3的倍数了，它们是：3、6、9、12、15、18。能把3的倍数全部说完吗? 说不完，那应该怎样表示问题的答案呢? 因为3 的倍数的个数是无限的，所以写的时候要借助省略号来完整地表示出结果。
流程6：完成“试一试”，总结一个数的倍数的特点
师：下面就请同学们用这种方法分别写出2的倍数和5的倍数。注意要有顺序地思考，并且规范地表示出结果。(学生活动)
师：老师和同学们核对一下答案，如果出错了，一定要分析原因，再订正。(核对答案)
师：现在我们已经找到了求一个数的倍数的方法，并用这样的方法分别求出3、2、5的倍数，请同学们观察上面的例子，你们能发现一个数的倍数有什么特点吗?大胆地说出你们的想法。(学生活动)
师小结：仔细观察，同学们会发现：一个数最小的.倍数是它本身，没有最大的倍数;一个数倍数的个数是无限的。
第四段：深化认识，巩固方法
流程7：完成智慧乐园
师：请看想想做做第3题。先填表，再讨论回答下面的问题： 表中每栏的“每排人数”各是怎样算出来的?“排数”和“每排人数”都是24的什么数?在填表的过程中你还受到了什么启发?(学生活动)
师： 24÷3=8，÷4=6，÷6=4，÷8=3，÷12=2，÷24=1，表中“排数”和“每排人数”都是24的因数。在填表的过程中我们会发现一对一对地找一个数的因数比较方便。
流程8：完成质疑乐园
先判断对错，再说一说自己的判断理由。
第五段：数学游戏
流程9：数学游戏
师：请同学们拿出写有自己学号的卡片，我们一起来做个游戏。看一看，想一想，你卡片上的数是否符合下面的条件，符合的请举起卡片，挥一挥。(课件出示)我是5，我找我的倍数;(学生活动)我是24，我找我的因数;(学生活动)我是1，我找我的倍数;(学生活动)我是30，我找我的因数。(学生活动)
第六段：全课总结
流程 10：课堂总结
师：同学们，这节课我们认识了倍数和因数，探索了找一个数的倍数和因数的方法，根据乘法算式，用这一个数分别乘1、乘2、乘3……可以有顺序地找到它的倍数。一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。找一个数的因数可以想乘法算式，把一个数写成两个数相乘的积，乘数就是这个数的因数;也可以想除法算式，用一个数依次去除以1、2、3……能得到整数商的，除数和商就是它的因数。写因数时根据算式有顺序的一对一对地写比较方便，不容易遗漏或重复。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
流程11：组织下课
组织学生分批退场。
(1)请学号数不少于三个因数的同学先退场;
(2)请学号数只有两个因数的同学退场;
(3)请学号数只有一个因数的同学跟我一起离场。
倍数和因数的教案篇五
1、理解倍数和因数之间的关系是相互依存的。
2、根据具体的问题情景，能正确确定某个非零自然数的所有因数。
3、使学生体味数学的趣味性，激发学生对数学的探究热情。
理解倍数和因数之间的关系是相互依存的，能正确求一个数的倍数和因数。
能正确有序求一个数的倍数和因数。
师：同学们，在我们的日常生活中，人与人之间存在着许多相互依存的关系，如：丁爸是丁丁的爸爸，丁丁是丁爸的儿子。丁哥是丁丁的哥哥，丁丁是丁哥的弟弟。其实在我们的数学王国里，数与数之间也存在着这种相互依存的关系，请看大屏幕，认识这些数吗？（课件出示：0，1，2，3，4，5）。
生：自然数。
（课件去“0”）。
（研究范围：非零自然数中）。
（一）找一个数的因数。
1、（课件出示例1情境图）。
师：请看大屏幕，这是36人列队操练，每排人数要一样多，可以怎样排列？同学们可以先同桌讨论，作好记录，再汇报。（引导生说：可以站几排，每排站几个。）。
根据这些信息我们能列出哪些乘法算是呢？
板书：1×36=362×18=363×12=364×9=366×6=361。
师：在4×9=36这个算式中，4和9叫什么？（因数）36是？（积），这是我们以前学的乘法各部分名称。其实，在整数乘法中，因数和积之间还存在一种相互依存的关系，也就是说4是36的因数，36是4的倍数。，同样，在这个算式中，我们还可以说9是36的？（因数），36是9的？（倍数）。
2、谁能像老师这样，说一说3×12=36他们之间的关系。（先请一个学生站起来说一说）。
4、你能根据左边的乘法算式写出相应的除法算式吗？（师根据生的回答板书）。
我们现在就以36÷4=9为例，你能从这个除法算式中说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？（说好后再让学生逐个说出除法算式中的关系）。
5、刚才同学们都说4是36的因数，那能单独说4是因数吗？（生发表意见）。
到底可以不可以这样说，请看大屏幕，（课件出示：4×9=362×2=4），请你说说4是倍数还是因数？（课件着重强调数字“4”）。
引导学生说：第一个式子中，4是36的因数，第二个式子中4是2的'倍数。（课件出示结果）。
师：从刚才的回答中你明白了什么？（引导生知道：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在）。
6、师：下面，请同学们看这个式子，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。（课件出示：4×5=2014÷3=53+6=96-4=20.3×2=0.6）。
生回答后，引导生知道：通过后三个算式使生进一步理解，倍数和因数都是建立在乘法或除法的基础之上的，他们的研究范围在非零自然数中。
7、你能根据上面所写的乘法算式或除法算式说出36的所有因数吗？
师；那么你知道怎样找一个数的所有因数呢？（同桌商讨后，指名回答，课件出示。）。
找一个数的所有因数时，可以先写出用这个数作积的所有乘法算式，或者写出用这个数作被除数的所有除法算式，再写出它的所有因数。注意，最好按照顺序从小到大来写，这样不容易遗漏。
8、师：现在，我们来练习一下。同学们分组有序的找出15、16、24、25的所有因数吗？打开练习本，快速的写出来，开始。（师巡视指导困难学生）。
写完后生汇报，并说出你是怎样找出它们的因数的，课件出示。
9、引导归纳概括一个数的因数的特点。
师：看来同学们已经充分掌握了找一个数因数的方法，观察刚才我们找的这些数的因数，你有什么发现吗？（出示合作学习要求和目的）下面请小组合作，仔细观察、比较我们找出的这些数的因数，你从这几个例子中发现了什么？请把你的发现和小组的成员说一说，注意：当一个同学在说的时候，其他成员一定要认真听，不要打断别人的发言，开始。
（二）找一个数的倍数。
1、师：找了这么多数的因数，现在我们来找一个数的倍数，好不好？
（课件出示例2）。
生写，师巡视。
2、指明汇报后，并说出你是如何找一个数的倍数的？
归纳（出示找一个数的倍数的方法）：找一个数的倍数从它本身开始，用非零自然数1，2，3···去乘，就可以得到。
那请大家观察这些数的倍数，你又能发现什么呢？同桌两个先互相说一说，开始吧。
生发言。
4、引导学生发现：一个数的倍数个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（课件出示）。
师；同学们认识了倍数和因数，探索了因数和倍数的特点，并且能正确求一个数因数和倍数的，其实，这些这些知识就在课本125、126页，打开书本，看一看书上的老师是如何说的，并把需要填写的部分填写以下。
这节课同学们通过自己的努力又发现了数学海洋里的新知识，真让老师感到开心，在我们今后的学习中希望大家继续带着这些热情和精神去探索、去发现。
书本127页练习二十1、2、3题（课件出示）。
（非零自然数中）。
1×36=3636÷1=3636÷36=1。
2×18=3636÷2=1836÷18=2。
3×12=3636÷3=1236÷12=3。
4×9=3636÷4=936÷9=4。
6×6=3636÷6=6。
36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36.
倍数和因数的教案篇六
一、引入新课。
1、出示主题图，让学生各列一道乘法算式。
2、师：看你能不能读懂下面的算式？
出示：因为2×6=12。
所以2是12的因数，6也是12的因数；
12是2的倍数，12也是6的倍数。
3、师：你能不能用同样的方法说说另一道算式？
（指名生说一说）。
师：你有没有明白因数和倍数的关系了？
那你还能找出12的其他因数吗？
4、你能不能写一个算式来考考同桌？学生写算式。
师：谁来出一个算式考考全班同学？
5、师：今天我们就来学习因数和倍数。（出示课题：因数倍数）。
齐读p12的注意。
二、新授：
（一）找因数：
1、出示例1：18的因数有哪几个？
学生尝试完成：汇报。
（18的因数有：1，2，3，6，9，18）。
师：说说看你是怎么找的？（生：用整除的方法，18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷4=…；用乘法一对一对找，如1×18=18，2×9=18…）。
师：18的因数中，最小的是几？最大的是几？我们在写的时候一般都是从小到大排列的。
2、用这样的方法，请你再找一找36的因数有那些？
汇报36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。
师：你是怎么找的？
举错例（1，2，3，4，6，6，9，12，18，36）。
师：这样写可以吗？为什么？（不可以，因为重复的因数只要写一个就可以了，所以不需要写两个6）。
仔细看看，36的因数中，最小的是几，最大的是几？
看来，任何一个数的因数，最小的一定是（），而最大的一定是（）。
3、你还想找哪个数的因数？（18、5、42……）请你选择其中的一个在自练本上写一写，然后汇报。
4、其实写一个数的因数除了这样写以外，还可以用集合表示：如。
18的因数。
小结：我们找了这么多数的因数，你觉得怎样找才不容易漏掉？
从最小的自然数1找起，也就是从最小的因数找起，一直找到它的本身，找的过程中一对一对找，写的时候从小到大写。
（二）找倍数：
1、我们一起找到了18的因数，那2的倍数你能找出来吗？
汇报：2、4、6、8、10、16、……。
师：为什么找不完？
你是怎么找到这些倍数的？（生：只要用2去乘1、乘2、乘3、乘4、…）。
那么2的倍数最小是几？最大的你能找到吗？
2、让学生完成做一做1、2小题：找3和5的倍数。
汇报3的倍数有：3，6，9，12。
师：这样写可以吗？为什么？应该怎么改呢？
改写成：3的倍数有：3，6，9，12，……。
你是怎么找的？（用3分别乘以1，2，3，……倍）。
5的倍数有：5，10，15，20，……。
师：表示一个数的倍数情况，除了用这种文字叙述的方法外，还可以用集合来表示。
2的倍数3的倍数5的倍数。
师：我们知道一个数的因数的个数是有限的，那么一个数的倍数个数是怎么样的呢？
（一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数）。
三、课堂小结：
我们一起来回忆一下，这节课我们重点研究了一个什么问题？你有什么收获呢？
四、独立作业：
完成练习二1～4题。
倍数和因数的教案篇七
（1）能直接在方格图上，数出相关图形的面积。
（2）能利用分割的方法，将较复杂的图形转化为简单的图形，并用较简单的方法计算面积。
2、过程与方法
（1）在解决问题的过程中，体会策略、方法的多样性。
（2）学会与人交流思维过程与结果。
3、情感态度与价值观
积极参与数学学习活动，体验数学活动充满着探索、体验数学与日常生活密切相关。
1、重点是指导学生如何将图形进行分割，从而让学生体会到解决问题的多样性和简便性。难点是灵活运用方法。
2、借助图形，让学生动手，自主探索、合作交流解决问题的方法。
一、创设情境、揭示新课。
我要说班里每位同学都是优秀的设计师！因为大家都在设计着自己美好的将来，所以在很用功的学习。希望大家继续努力，使自己美好的设计成为现实。下面我们来看一看，我们的同行——一位地毯图案设计师，设计的图案。
展示地毯上的图形，让学生仔细观察图形特点，说发现。
地毯是正方形，边长为14米蓝色部分图形是对称的，……
师：看这副地毯图，请你提出数学问题。
根据学生的回答展示问题：“地毯上蓝色部分的面积是多少？”
师板书课题：地毯上的图形面积
二、自主探索、学习新知
如果每个小方格的面积表示1平方米，，那么地毯上的图形面积是多少呢？
1、学生独立解决问题
要求学生独立思考，解决问题，怎样简便就怎样想，并把解决问题的方法记录下来。
2、小组内交流、讨论
3、班内反馈
请学生汇报蓝色部分面积，重点汇报求蓝色面积的方法。对于每一种方法，只要学生说得合理都给以肯定。
学生的答案也许有：
（1）直接一个一个地数，为了不重复，在图上编号；（数方格法）
（2）因为这个图形是对称的，所以平均分成4份，先数出一份中蓝色的面积，再乘4；（化整为零法）
（3）用总正方形面积减去白色部分的面积；（大减小法）
（4）将中间8个蓝色小正方形转移到四周兰色重叠的地方，就变成4个3×6的长方形加上4个3×3的正方形。（转移填补法）
4、学生总结求蓝色部分面积的方法。
三、巩固练习、拓展运用（课本第19页练一练）
1、第1题
（1）学生独立思考，求图1的面积。
（2）说一说计算图形面积的方法。引导学生了解“不满一格的当作半格数”。
2、第2题
独立解决后班内反馈。
3、第3题
（1）学生独立填空。求出每组图形的面积。学生完成后班内交流反馈答案。
（2）学生观察结果，说发现。
第（1）题的4个图形面积分别为1、2、3、4的平方数；第（2）题与第（1）题进行比较，第（2）题的3个图形的面积分别是前面一组题的前3个图形 面积的一半。
四、全课小结，课后拓展
今天我们进行了那些活动，你收获了什么？
师：对于计算方格图中规则图形的面积，我们可以分割，可以直接数，可以“大减小”，还可以转移填补。如果没有方格图，我们该怎样解决一些图形的面积呢？明天的数学课上我们将继续学习。课后，有兴趣的同学可以在空白方格纸上设计一些你喜欢的图案，让你的同桌帮你算一算图案的面积。
倍数和因数的教案篇八
1、尝试用“列表”“画示意图”等解决问题的策略发现规律，运用数的奇偶性解决生活中的一些简单问题。
2、经历探索加法中数的奇偶性变化的过程，在活动中发现加法中数的奇偶性变化规律，在活动中体验研究的.方法，提高推理能力。
1、尝试用“列表”“画示意图”等解决问题的策略发现规律，运用数的奇偶性解决生活中的一些简单问题。
2、经历探索加法中数的奇偶性变化的过程，在活动中发现加法中数的奇偶性变化规律，在活动中体验研究的方法，提高推理能力。
活动1：利用数的奇偶性解决一些简单的实际问题。
让学生尝试解决问题，寻找解决问题的策略，利用解决问题的策略发现规律，教师适当进行“列表”“画示意图”等解决问题策略的指导。
本题是让学生应用上述活动中解决问题的策略尝试自己解决问题，最后的结果是：翻动10次，杯口朝上；翻动19次，杯口朝下。解决问题后，让学生以“硬币”为题材，自己提出问题、解决问题，还可以开展游戏活动。
活动2：探索奇数、偶数相加的规律。
[板书设计]。
数的奇偶性。
12+34=48偶数+偶数=偶数。
11+37=48奇数+奇数=偶数。
12+11=23奇数+偶数=奇数。
倍数和因数的教案篇九
教材第6页例3及练习二第3～8题及思考题。
1.通过学习，使学生能自主探究，找出求一个数的倍数的方法。
2.结合具体情境，使学生进一步认识自然数之间存在因数和倍数的关系，掌握求一个数的因数和倍数的方法。
3.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能用所学知识解决问题。在解决问题的过程中，培养学生概括、分析和比较的能力，使学生体会数学知识的内在联系。
重点：掌握求一个数的倍数的方法。
难点：理解因数和倍数两者之间的关系。
1、探索找倍数的方法。（教学例3）。
出示例3：2的倍数有哪些？
师：你会找2的倍数吗？给你们1分钟的时间，看谁写得又对、又快、又多！准备好了吗？开始！
师：时间到，你写了多少个2的倍数？生1:15个。生2:24个。
师：大家都是用的什么方法呢？
生1：我是用乘法口诀，一二得二，二二得四……这样写下去的。
生2：我也是用乘法，用2去乘1、乘2……。
师：哪些同学也是用乘法做的？
师：你们都是用2去乘一个数，所得的积就是2的倍数。还有不同的方法吗？
生3：我用的'是除法，用2÷2=1，4÷2=2，6÷2=3，……依次除下去。
师：很好！如果给你更长的时间，你能把2的倍数全部写出来吗？（不能）。
师：为什么？（因为2的倍数有无数个）。
师：怎么办？（用省略号）。
师：通过交流，你有什么发现？
引导学生初步体会2的倍数的个数是无限的。
追问：你能用集合图表示2的倍数吗？
学生填完后，教师组织学生进行核对。
（4）即时练习。让学生找出3的倍数和5的倍数，并组织交流。学生举例时可能会产生错误，教师要引导学生根据错例进行适时剖析。
2、反思提炼。师：从前面找因数和倍数的过程中，你有什么发现？
先让学生在小组内交流，再组织全班集体交流，通过全班交流，引导学生认识以下三点：
（1）一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
（2）一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。
（3）一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。
1、指导学生完成教材第7～8页练习二第3～8题及思考题。
学生独立完成全部练习后教师组织学生进行集体订正。
集体订正时，教师着重引导学生认识以下几点：
（1）第4题“15的因数有哪些？”和“15是哪些数的倍数”答案是一样的。
（2）第5题中的第（2）小题是错的，因为一个数的倍数的个数是无限的，第（4）小题也是错的，因为在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是自然数，不含小数。
（3）思考题：两数如果都是7（或9）倍数，它们的和也一定是7（或9）的倍数，即如果两数都是n的倍数，它的和也是n的倍数。
2、利用求倍数的方法解决生活中的实际问题。
理解题意，分析解答。
教师提示“2个2个地数，正好数完，说明西瓜的个数是2的倍数，5个5个地数，也正好数完，说明西瓜的个数是5的倍数，所以西瓜的个数同时是2和5的倍数。
交流汇报：2的倍数有2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，…。
5的倍数有5，10，15，20，25，30，…。
2和5共同的倍数有10，20，…所以2和5共同的倍数最小的是10。
答：这些西瓜最少有10个。
1、师：通过本节课的学习，你有什么收获？（学生交流）。
2、让学生自学“你知道吗？”
2×1=22÷2=1。
2×2=44÷2=2。
2×3=66÷2=3。
2×4=88÷2=4。
2的倍数有2，4，6，……。
一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。
倍数和因数的教案篇十
1.理解因数和倍数的意义以及两者之间相互依存的关系，掌握找一个数的因数和倍数的方法。
2.在探究的过程中体会数学知识之间的内在联系，在解决问题的过程中培养学生思维的有序性和条理性。
3.培养学生的探索意识以及热爱数学学习的情感。
1.理解因数和倍数的意义以及两者之间相互依存的关系。
2.掌握找一个数的因数和倍数的方法。
教学课件。
（一）创设情境，引入新课。
人与人之间存在着许多种关系，你们和爸爸（妈妈）的关系是？
（父子、母子、母女关系）我和你们的关系是？（师生关系）。
在数学中，数与数之间也存在着多种关系，这节课，我们一起研究两数之间的因数与倍数关系。
（二）探究新知-理解因数和倍数的意义。
教学例1：
1．观察算式的特点，进行分类。
（1）仔细观察算式的特点，你能把这些算式分类吗？
（2）交流学生的分类情况。（预设：学生会根据算式的计算结果分成两类）。
第一类是被除数、除数、商都是整数；第二类是被除数、除数都是整数，而商不是整数。
2．明确因数和倍数的意义。
（1）同学们，在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，12÷2=6，我们就说12是2的倍数，2是12的因数。12÷6=2，我们就说12是6的倍数，6是12的因数。
（2）在第一类算式中找一个算式，说一说，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？
（3）强调一点：为了方便，在研究倍数与因数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）。
3．理解因数和倍数的依存关系。
（1）独立完成教材第5页“做一做”。
（2）我们能不能说“4是因数”“24是倍数”呢？表述时应该注意什么？
4．理解一个数的“因数”和乘法算式中的“因数”的区别以及一个数的“倍数”与“倍”的区别。
（1）今天学的一个数的“因数”与以前乘法算式中的“因数”有什么区别呢？
课件出示：
乘法算式中的“因数”是相对于“积”而言的，可以是整数，也可以是小数、分数；而一个数的“因数”是相对于“倍数”而言的，它只能是整数。
（2）今天学的“倍数”与以前的“倍”又有什么不同呢？
“倍数”是相对于“因数”而言的，只适用于整数；而“倍”适用于小数、分数、整数。
（3）交流汇报。
（三）探究新知-找一个数的因数。
教学例2：
1．探究找18的因数的方法。
（1）18的因数有哪些？你是怎么找的？
（2）交流方法。
预设：方法一：根据因数和倍数的意义，通过除法算式找18的因数。
因为18÷1=18，所以1和18是18的因数。
因为18÷2=9，所以2和9是18的因数。
因为18÷3=6，所以3和6是18的因数。
方法二：根据寻找哪两个整数相乘的积是18，寻找18的因数。
因为1×18=18，所以1和18是18的因数。
因为2×9=18，所以2和9是18的因数。
因为3×6=18，所以3和6是18的因数。
2．明确18的因数的表示方法。
（1）我们怎样来表示18的因数有哪些呢？怎样表示简洁明了？
（2）交流方法。
预设：列举法，18的因数有：1，2，3，6，9，18。
集合图的方法（如下图所示）。
3．练习找一个数的因数。
（1）你能找出30的因数有哪些吗？36的因数呢？
（2）怎样找才能不遗漏、不重复地找出一个数的所有因数？
（四）探究新知-找一个数的倍数。
教学例3：
1．探究找2的倍数的方法。
（1）2的倍数有哪些？你是怎么找的？
（2）想方法：利用乘法算式找2的倍数。
因为2×1=2，所以2是2的倍数。
因为2×2=4，所以4是2的倍数。
因为2×3=6，所以6是2的倍数。……。
（3）2的倍数能写完吗？你能继续找吗？写不完怎么办？
（4）根据前面的经验，试着表示出2的倍数有哪些？（预设：列举法、集合图的方法）。
2．练习找一个数的倍数。
你能找出3的倍数有哪些吗？5的倍数呢？
（五）我的发现-因数与倍数的特征。
举例子，找规律，勾画知识点，读一读。
预设：一个数的因数的个数是有限的`，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。1是所有非零自然数的因数。
（六）智慧乐园。
1．在练习本上完成下列填空题。（独立完成后，师订正答案）。
一个数的最大因数是17,这个数是(),它的最小的因数是()。
一个数的最小倍数是17,这个数是(),它()最大的倍数,17的倍数的个数是().
一个数既是12的因数，又是12的倍数，这个数是（）。
2.在练习本上完成下列判断题。（独立完成后，师订正答案）。
（1）在算式6×4=24中，6是因数，24是倍数。（）。
（2）15的倍数一定大于15。（）。
（3）1是除0以外所有自然数的因数。（）。
（4）40以内6的倍数有12、18、24、30、36这5个。（）。
（5）34的最小倍数是34；34的最小因数是17。（）。
（6）1.2是3的倍数。（）。
（七）全课总结，交流收获。
这节课我们学了哪些知识？你有什么收获？
（八）布置作业。
完成课时练第3、4页，提交家校本。
倍数和因数的教案篇十一
教科书第25页，练习四第5～8题。
1、通过练习与对比，使学生发现和掌握求两个数最小公倍数的一些简捷方法，进行有条理的思考。
2、通过练习，使学生建立合理的认识结构，形成解决问题的多样策略。
3、在学生探索与交流的合作过程中，进一步发展学生与同伴合作交流的意识和能力，感受数学与生活的联系。
1、我们已经掌握了找两个数的公倍数和最小公倍数的方法，这节课我们继续巩固这方面的知识，并能够利用这些知识解决一些实际问题。
（板书课题：公倍数和最小公倍数练习）。
2、填空。
5的倍数有：（）。
7的'倍数有：（）。
5和7的公倍数有：（）。
5和7的最小公倍数是：（）。
3、完成练习四第5题。
（1）理解题意，独立找出每组数的最小公倍数。
（2）汇报结果，集体评讲。
（3）观察第一组中两个数的最小公倍数，看看有什么发现？
每题中的两个数有什么特征呢？（倍数关系）可以得出什么结论？
（4）第二组中两个数的最小公倍数有什么特征？（是这两个数的乘积）。
在有些情况下，两个数的最小公倍数是这两个数的乘积。
4、完成练习四第6题。
你能运用上一题的规律直接写出每题中两个数的最小公倍数吗？
交流，汇报。
说说你是怎么想的？
1、完成练习四第7题。
（1）理解题意，独立完成填表。
（2）你是怎样找到这两路车第二次同时发车的时间的？
你还有其他方法解决这个问题吗？（7和8的最小公倍数是56）。
2、完成练习四第8题。
（1）理解题意。
你能说说，他们下次相遇，是在几月几日吗？（8月24日）。
你是怎样知道的？
要知道他们下次相遇的日期，其实就是求什么？（6和8的最小公倍数）
通过练习，同学们又掌握了一些比较快的求两个数最小公倍数的方法，并能运用这些方法解决一些实际问题。
在小组中互相说说自己本节课的收获。
倍数和因数的教案篇十二
师：谁愿意把自己摆长方形的方法和列出的算式讲给大家听?
师：还有其它摆法吗?还有不同的乘法算式吗?猜一猜,他是怎样摆的?
学生交流几种不同的摆法。随着学生交流一一演示。
师：12个同样大小的正方形能摆出不同的的长方形,可以用乘法算式来表示。千万别小看这些乘法算式，我们这节课的研究就从这些算式中开始。我们就以最后一道乘法算式为例，（板书：3×4=12，3和4在乘法算式叫（因数），那12呢?（积）因为:3×4=12,我们可以说3是12的因数，那4（也是12的因数，），3和4都是12的因数，反过来呢？12是3的倍数，12（也是4的倍数）。同学们很有迁移的能力。这就是我们今天所要研究的两个重要的概念：因数与倍数。(板书课题)（齐说3、4、12）。
师：刚才这位同学的发言就象绕口令，你们听明白了吗？谁再来说说？
（4）质疑：如果我说12是倍数，1是因数，行吗？引导学生说出12是谁的倍数，1是谁的因数。
小结：倍数和因数是指两个数之间的关系，所以不能单独说谁是倍数，谁是因数。一定要说“谁是谁的倍数，谁是谁的因数。”
（5）举例内化。
1、同桌出题互说。
师：你能写一道乘法算式，让同桌说说（ )是（ )的倍数，（ )是（ )的因数吗？生汇报。
2、老师根据学生出的一道乘法算式随机得到一道除法算式让学生说一说：（ )是（ )的倍数，（ )是（ )的因数。
小结：看来，乘法算式和除法算式中都存在着倍数和因数关系。
师指明：，为了研究方便，我们在说倍数和因数时，所说的数一般指不是0的自然数。因此以后小数与分数就不讨论因数倍数关系。
（3）、小结：好了，刚才我们已经初步研究了因数和倍数，下面我们进一步来研究因数和倍数。
二、创设情境,自主探究找因数和倍数的方法.
（一）探索找因数的方法。
生说略。还有补充的吗？能不能说3是20的因数？
师：3、18、36都是36的因数，只有这3个吗？（1、2、……）。
师：看来要找出36的一个因数并不难,难就难在你能不能把36的所有因数既不重复又不遗漏地全部找出来呢？因为这个问题有点难度，你可以独立完成也可以同桌合作完成，请你选择你喜欢的方式,找出36的所有因数，想一想怎么找不会遗漏？如果你全部找到了，填在作业纸的横线上。同时将你找因数的方法写在横线的下方框内。
生写后小组内交流。学生填写时师巡视搜集作业。
2、交流作业。(略)。
出示学生的不同作业。交流找因数的方法。
师:出示36的因数有:1、36;2、18;3、12；4，9;6。
你知道这个同学是怎样找出36的因数的吗?看着这个答案你能猜出一点吗?
生:他是有规律,一对一对找的,哪两个整数相乘得36,就写上。
师：找到什么时候为止?那为什么算到6，你们就不往后找了呢？相同的只写一个6。
师:他是用乘法找的,其他同学还有补充吗? 。
师：老师发现不管是用乘法还是用除法，你们都是从几开始的啊？为什么？（板书：有序）。
师:36的因数还可以这样表示。(小黑板：板书集合圈图)。
4、启迪思考。
师：现在你找一个数的因数有办法了吗?怎样才能有序地、既不重复、又不遗漏地找出一个数的所有因数呢？在小组里说一说。
学生想到的方法可能是：从小到大找；一对一对找；找到两个数接近为止。
3、学生小结。好，我们已经说了那么多，谁能完整地说一说？
4、尝试练习：
5、发现一个数因数的特征。
师：刚才我们找了36、20、18和5的因数，请大家仔细观察这4个数的所有因数。你发现这些数的因数有什么共同的特点？把你的发现告诉小组里的同学。
（先思考，再交流）还有吗？36的因数除了这些还有吗？说明一个数因数的个数是（有限的）（板书）。
四、巩固练习。
1、判一判。（小黑板出示）。
2、填一填。
倍数和因数的教案篇十三
1．使学生初步掌握2、5的倍数的特征。
2．使学生知道奇数、偶数的概念。
能力目标
1．会判断一个数是否能被2、5整除。
2．会判断奇数、偶数。
3．培养类推能力及主动获取知识的能力。
情感目标
激发学生的学习兴趣。
倍数和因数的教案篇十四
由于学生对辨析、理清除尽和整除的关系、整除的两种读法等易混淆的概念，使学生明确一个数是否是另一个数的倍数或因数时，必须是以整除为前提，因数和倍数是相互依存的概念，不能独立存在。所以本节课的教学我把重点定位于理解因数和倍数的含义。
倍数和因数的教案篇十五
（非零自然数中）
1×36=3636÷1=3636÷36=1
2×18=3636÷2=1836÷18=2
3×12=3636÷3=1236÷12=3
4×9=3636÷4=936÷9=4
6×6=3636÷6=6
36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36.
倍数和因数的教案篇十六
第四课时。
：1、经历探索3的倍数特征的过程，理解3的倍数的特征，能正确判断一个数是不是3的倍数。
2、在观察、猜测和小组合作学习讨论的过程中，提高探究问题的能力。
：1、经历探索3的倍数特征的过程，理解3的倍数的特征，能正确判断一个数是不是3的倍数。
2、在观察、猜测和小组合作学习讨论的过程中，提高探究问题的能力。
：图片。
师：看来只观察个位不能确定是不是3的倍数，那么3的倍数到底有什么特征呢?今天我们共同来研究。（揭示课题）。
师：先请在下表中找出3的倍数，并做上记号。（教师出示百以内数表，学生人手一张。在学生的活动后，教师组织学生进行交流，并呈现学生已圈出3的倍数的百以内的数表。）（如下图）。
师：请观察这个表格，你发现3的倍数什么特征呢，把你的发现与同桌交流一下。
学生同桌交流后，再组织全班交流。
生1：我发现10以内的数只有3、6、9能被3整除。
生2：我发现不管横的看或竖的看，3的倍数都是隔两个数出现一次。
生3：我全部看了一下，刚才前面这位同学的猜想是不对的，3的倍数个位上0～9这十个数字都有可能。
师：个位上的数字没有什么规律，那么十位上的数有规律吗？
生：也没有规律，1～9这些数字都出现了。
师：其他同学还有什么发现吗？
生：我发现3的倍数按一条一条斜线排列很有规律。
师：你观察的角度与其他同学不同，那么每条斜线上的数有规律吗？
生：从上往下观察，连续两数都是十位数增加1，而个位数减少1。
师：十位数加1、个位数减1组成的数与原来的数有什么相同的地方?
生：我发现“3”的那条斜线，另外两个数12和21的十位和个位上的数字加起来都等于3。
师：这是一个重大发现，其他斜线呢？
生1：我发现“6”的那条斜线上的数，两个数字加起来的和都等于6。
生2：“9”的那条斜线上的数，两个数字加起来的和都等于9。
生3：我发现另外几列，除了边上的30、60、90两个数字的和是3、6、9，另外的数两个数字的和是12、15、18。
师：现在谁能归纳一下3的倍数有什么特征呢？
生：一个数各个数位上数字之和等于3、6、9、12、15、18等，这个数就一定是3的倍数。
生：一个数各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就一定是3的倍数。
师：刚才是从100以内数中发现了规律，得出了3的倍数的特征，如果是三位数甚至更大的数，3的倍数的特征是否也相同呢?请大家再找几个数来验证一下。
学生先自己写数并验证，然后小组交流，得出了同样的结论。
练习：第7页的1、2题。
个性化教学思路。
：学生的判断方法就很多样了，学生对后面的这种方法接受很快，也很乐意运用。但在实际作业中，我感到学生对3的特征的运用不是很主动，不象2和5的特征来得快，似乎有些想不到。因此，要加强练习。
倍数和因数的教案篇十七
人与人之间存在着许多种关系，你们和爸爸（妈妈）的关系是？
（父子、母子、母女关系）我和你们的关系是？（师生关系）
在数学中，数与数之间也存在着多种关系，这节课，我们一起研究两数之间的因数与倍数关系。
（二）探究新知-理解因数和倍数的意义
教学例1：
1．观察算式的特点，进行分类。
（1）仔细观察算式的特点，你能把这些算式分类吗？
（2）交流学生的分类情况。（预设：学生会根据算式的计算结果分成两类）
第一类是被除数、除数、商都是整数；第二类是被除数、除数都是整数，而商不是整数。
2．明确因数和倍数的意义。
（1）同学们，在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，12÷2=6，我们就说12是2的倍数，2是12的因数。12÷6=2，我们就说12是6的倍数，6是12的因数。
（2）在第一类算式中找一个算式，说一说，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？
（3）强调一点：为了方便，在研究倍数与因数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）。
3．理解因数和倍数的依存关系。
（1）独立完成教材第5页“做一做”。
（2）我们能不能说“4是因数”“24是倍数”呢？表述时应该注意什么？
4．理解一个数的“因数”和乘法算式中的“因数”的区别以及一个数的“倍数”与“倍”的区别。
（1）今天学的一个数的“因数”与以前乘法算式中的“因数”有什么区别呢？
课件出示：
乘法算式中的“因数”是相对于“积”而言的，可以是整数，也可以是小数、分数；而一个数的“因数”是相对于“倍数”而言的，它只能是整数。
（2）今天学的“倍数”与以前的“倍”又有什么不同呢？
“倍数”是相对于“因数”而言的，只适用于整数；而“倍”适用于小数、分数、整数。
（3）交流汇报。
（三）探究新知-找一个数的因数
教学例2：
1．探究找18的因数的方法。
（1）18的因数有哪些？你是怎么找的？
（2）交流方法。
预设：方法一：根据因数和倍数的意义，通过除法算式找18的因数。
因为18÷1=18，所以1和18是18的因数。
因为18÷2=9，所以2和9是18的因数。
因为18÷3=6，所以3和6是18的.因数。
方法二：根据寻找哪两个整数相乘的积是18，寻找18的因数。
因为1×18=18，所以1和18是18的因数。
因为2×9=18，所以2和9是18的因数。
因为3×6=18，所以3和6是18的因数。
2．明确18的因数的表示方法。
（1）我们怎样来表示18的因数有哪些呢？怎样表示简洁明了？
（2）交流方法。
预设：列举法，18的因数有：1，2，3，6，9，18。
集合图的方法（如下图所示）。
3．练习找一个数的因数。
（1）你能找出30的因数有哪些吗？36的因数呢？
（2）怎样找才能不遗漏、不重复地找出一个数的所有因数？
（四）探究新知-找一个数的倍数
教学例3：
1．探究找2的倍数的方法。
（1）2的倍数有哪些？你是怎么找的？
（2）想方法：利用乘法算式找2的倍数。
因为2×1=2，所以2是2的倍数。
因为2×2=4，所以4是2的倍数。
因为2×3=6，所以6是2的倍数。……
（3）2的倍数能写完吗？你能继续找吗？写不完怎么办？
（4）根据前面的经验，试着表示出2的倍数有哪些？（预设：列举法、集合图的方法）
2．练习找一个数的倍数。
你能找出3的倍数有哪些吗？5的倍数呢？
（五）我的发现-因数与倍数的特征
举例子，找规律，勾画知识点，读一读。
预设：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。1是所有非零自然数的因数。
（六）智慧乐园
1．在练习本上完成下列填空题。（独立完成后，师订正答案）
一个数的最大因数是17,这个数是(),它的最小的因数是()。
一个数的最小倍数是17,这个数是(),它()最大的倍数,17的倍数的个数是().
一个数既是12的因数，又是12的倍数，这个数是（）。
2.在练习本上完成下列判断题。（独立完成后，师订正答案）
（1）在算式6×4=24中，6是因数，24是倍数。（）
（2）15的倍数一定大于15。（）
（3）1是除0以外所有自然数的因数。（）
（4）40以内6的倍数有12、18、24、30、36这5个。（）
（5）34的最小倍数是34；34的最小因数是17。（）
（6）1.2是3的倍数。（）
（七）全课总结，交流收获
这节课我们学了哪些知识？你有什么收获？
（八）布置作业
完成课时练第3、4页，提交家校本。
倍数和因数的教案篇十八
1、通过“活动建构”，使学生领会因数和倍数的意义；通过独立思考、交流谈论，初步掌握求一个数所有因数的方法。
2、在解决问题的过程中，培养学生思维的有序性、条理性，增强学生的探究意识和求索精神。
3、通过教学，让学生从中感受到数学思考的魅力，体验到数学学习的乐趣。
