苏霍姆林斯基说：“教师的真正的思维素养，就在于在学习教材的过程中，教师能找出一些工作方法和形式，使他能够看见学生的思路是怎样发展的”。经过两年多的对课堂学习活动设计有效性的反思研究，加深了我们对学生经验的课程的理解，锤炼了我们对课堂现象的敏锐捕捉的眼睛，提高了我们对课堂学习活动设计的能力。我们在观察、积累、反思、更进、创新中凸显学生学习的主体地位和创造能力，提高学生的学习水平，激发学生学习兴趣和内在需求，促进学生有效学习。让课堂创设宽松热烈的研讨环境，让智慧在思维撞击中产生火花，让学习者之间的切磋、争辩、质疑，诱发灵感，产生群体感应和共生效应。让“奇怪的课堂现象”、“一闪即过的课堂现象”、“习以为常的课堂现象”、“想不通的课堂现象”等等都成为我们更进学习活动设计的创造的源泉。

巴斯德说：“机遇只垂青于有准备的头脑”。在数学教学过程中，应该尽力启发学生进行猜测与存疑，建立起一个要求活跃的智力活动过程的环境。我听了殷惠兰老师的一节课《长方体的体积》，当学生通过动手操作等学习活动，推导出长方体的体积后，在测量与计算讲台的体积时，计算出一个七十多万立方厘米的庞大数据。此时，下课的铃声响了，可是我还沉浸在这个庞大的数据中。当时，我对这个数据信息很感兴趣，职业的第六感告诉我：作为一个成年人，尚且要把这个数据换算成立方米来感觉，更何况是小学生呢？所以我想把这个数据信息利用在《体积单位间的进率》的新课导入中，目的引发学生自主产生研究目标。让学生先估计讲台的体积，教师及时记录学生的估计数据，（大部分学生用立方米作单位估计，个别学生用立方分米作单位估计），然后再测量与计算，长、宽、高故意用厘米作单位。当学生算出体积770040cm时，情不自禁地说“太大了”、“天那！”、“哇！”接着，比一比，看谁的估计最接近？这样探究目标----“体积单位间的进率”就成了学生的自发行为。记录学生猜想的体积单位间的进率，让学生想办法证明体积单位间的进率到底是多少。学生从猜想到验证，思维积极投入，学生的智力劳动是学生自己要干的事！同时从学生估计的误差之大也看出培养学生的数感是何等重要！

2006年5月15日，我在两个班教学了《分数的基本性质》。有一个信息资源引起了我的好奇和思考，我们在教学中怎样体现出——遵循学生发现规律的规律？

对于《分数的基本性质》，“变”与“不变”的规律的探索，我设计了以下三个活动：

活动一：你能写出几个与1/2相等的分数吗？你能用不同的方法证明它们真的相等吗？

我的设想：学生对1/2这个特殊的分数，早有感觉，所以，我想从这个特例作为切入口，主要目的引发学生不同方法的验证，并让学生初步意识到分数的分子、分母不同，但大小可能相等。教材的编排是通过涂色部分用分数来表示，从而看出1/2=2/4=3/6=4/8，随即引导学生观察发现变化规律，得出分数的基本性质。这样的引导，往往老师“导”得很累，或者说“牵”着学生引得很快，也似乎很顺。但从下面的学习活动的过程中，你会清晰地看到过早引导发现规律，犹如揠苗助长。因为一个例子谈不上发现规律，更何况是一个特例呢。学生对这几个分数为什么会相等，是完全可以带着自己的各种猜想或理解的。

我们来看看学生的课堂现象吧：板书学生想的数1/2=2/4=3/6=4/8=5/10=……。收集学生的证明方法：学生用圆片或长方形、正方形纸片验证；画图验证；用分数与除法的关系，把分数化成小数验证；画数轴验证；用商不变的规律解释；用分母总是分子的2倍来解释，（教师引导即分子总是分母的一半来解释），学生对“一半”的生活经验很丰富，所以他们往往更喜欢从单个的分数的分子与分母的关系上来判断它们相等，此时，他们的目光还不能从整体的这一列分数的分子和分母的变化情况作出横向的判断或分析。但是，有的学生还说了发现：“分子乘2，分母乘2……”以及“分子一个一个加1，分母一个一个加2，它们的大小不变。”

活动二：你能写出几个与3/4相等的.分数吗？你能证明这些分数也真的相等吗？

我的预设：学生根据上面活动必然获得不同程度的经验，那么，他在这个活动中，实际上就在运用自己头脑中刚获得的最强烈的经验或理解来写自己认为相等的分数。

课堂现象：一部分学生写这样一列分数：3/4=6/8=9/12=12/16=15/20=……；可是还有个别学生一个都写不出，还有个别学生利用手中的圆纸片或画图的方法把每份细分，只写出一个与3/4相等的分数，特别是5个学生（占全班的1/6）写了这样一列分数：3/4=4/5=5/6=6/7=7/8=8/9=……；这5个学生还很自信地给我看呢！其中，还有一个我心目中很聪明的学生呢。我愣住了，马上鼓励性地说：“如果你能证明这些分数真的相等，你就是最棒的！如果你能证明这些分数不相等，那么你同样是最聪明的！”果然，有学生自己验证发现了自己的错误及错误原因，并且在动手证明的活动中知道了正确的答案。关于学生3/4=4/5=5/6=6/7=7/8=8/9=……的这一错误，一开始我还以为是这个班的学生数学思维水平有的较低的原因吧，没想到在另一个班出现了同样的情况（也是5人）。从这一现象中我们清楚地看出，少数学生的思维焦点停留在分数的分子与分母的倍数关系或相差关系上来判断它们相等的。所以，引导学生从一列分数的“变”与“不变”中观察、发现规律是需要一个过程的。

在这个学习活动中，有的学生写得很快，很多；有的学生一开始写感觉很难，写不出来，于是，他们一边折纸或画图，一边写数，同时也验证了自己的结果，在操作的过程中似乎感觉到了一些变化规律。更令我激动的是毕凡同学在自备本上同时写了两组数列，于是，我在巡视中好奇地、悄悄地与他交流起来：“你为什么写两组分数呀？”他说：“我第一组数3/4=6/8=9/12=12/16=15/20=……是按照我的想法写的，第二组数3/4=4/6=5/8=6/10=……是按照刚才那位同学说的‘分子一个一个加1，分母一个一个加2，它们的大小不变’的规律写的。结果，我证明了我的想法是对的，他说的规律是错的。”真是厉害！没想到毕凡同学既验证了自己的想法，又验证了别人的规律。也许正是1/2这个特例，他说服不了自己的眼睛，引发了他的多向思考！促进了学生对普遍规律的深入研究与思考。

另外，3/4=6/8=9/12=12/16=15/20=……，‘分子一个一个加3，分母一个一个加4，它们的大小不变’，这里面是否又有什么普遍意义的规律呢？进一步让学生沟通理解分子、分母同时加不同的数或同时乘相同的数之间的内在联系。

我们发现：学生从多种猜想到验证、到抽象概括发现普遍意义的规律，往往更需要经历自我否定的过程，在否定意义上的肯定，让课堂更具有生命力的个性化的色彩。

在学习了《分数的基本性质》后，再教学《约分》，实在是太简单了。可是，怎样在简单中给学生新的刺激呢？新课究竟新在哪里呢？怎样让学生体验——我为什么要学习约分呢？带着这样的思考，我设计了如下真实情景：我班男生12人，女生18人。根据信息提出问题（变成分数应用题）。选择“男生人数是女生人数的几分之几？”要求学生列式计算并用图准确地表示出“男生人数是女生人数的几分之几”的关系。结果学生都是12÷18=12/18，并且老老实实地把一个图形平均分成18份，阴影部分是12份等。这时，我出示假如五年级有男生150人，女生200人。男生人数是女生人数的几分之几？（生齐答：150/200）如果用图准确地表示出“男生人数是女生人数的几分之几”的关系，你愿意平均分200份吗？如果用图准确地表示出全校男生人数是女生人数的几分之几的关系，你愿意平均分几千份吗？那怎么办？此时学生恍然大悟，150/200，不就是3/4吗！只要平均分4份呀！从而回头看12/18，其实就是2/3呀，只要平均分3份呀！接着，让学生看书上的图，哪一幅图一眼就看出阴影部分占整体的几分之几？然后让学生谈感觉、说想法。

“平均分的份数还能再小一点吗？为什么？”“互质数”、“最简分数”“约分的依据”、“约分的策略”的知识也水到渠成了。约分的概念，就这样深深地走进了学生的内心世界，从而体验了约分的简单美与价值。同时，又从新的角度重新审视原来学过的求两个数的最大公约数的“短除法”。在这样的学习活动的设计中，学生体验到了学习《约分》的需要。

练习反馈是课堂教学的重要环节，也是学生兴趣保持的又一兴奋点。练习设计往往不再是教师的简单直接的提供，而更多地表现为“有预谋”地让学生“窝里斗”。

【背景介绍】：每张卡片上有学生写的一个数的约数，收集这些卡片贴在黑板上，学生在直观的表象中移动卡片分类，在清晰的分类依据中理解质数和合数的概念本质。以下是本课的练习活动设计选段：

活动a：比赛写质数，限时1.5分钟。5位学生上台板演。

1、在规定时间内比谁写的质数又快又多这一活动，符合学生的好胜心理，同时也具有一定的挑战性。

2、改变了以往教学中，学生学习了一个新的概念后由老师来提供数据信息让学生判断，达到强化学生对新知理解的目的。以往的练习活动的开展，信息比较单一，学生的思维比较静态、被动，课堂的互动性也不强。

3、通过“打假”活动------他们写的数中哪些是伪劣产品（不是质数）？活生生的学习资源，打破了常规的教师直接指令下的被动的操作活动，学生在“打假”活动中有成就感，积极性也就被大大激发了。另外，学生自认为自己写的是质数，却被别人反驳了，颇有恍然大悟之感，这时，思维在碰撞中闪出火花，判断的策略被有效激活了，能被2、3、5整除的数的特征也有“用武之地”了。

这样的练习活动设计是否有点“现炒现买”的感觉？让学习资源“取之于民，用之于民”，产生课堂的情感共鸣。

活动b：留下100以内的质数，比谁快！

提供学生“1～100”的练习纸，每十个数有序排列。教师黑板上也预先写好1～100。

1、独立解决，表现出不同层次学生的不同水平；集体交流，实现资源共享；假如再给你一次机会，充分调用学生解决问题的策略。

2、学生的思维从“无序”走向“有序”。

3、改变以往的评价和交流方式。“假如再给你一次机会，你能很快地……”有效促进学生思维的提升，尽量使练习活动设计的有效性达到最佳状态。

活动c：数学文化“歌德巴赫猜想”，感受数学文化的魅力，激发学生的探究兴趣。

美国教育家布鲁巴克说：“最精湛的教育艺术，遵循的最高准则，就是学生自己提出问题。”这是动态生成的课堂的主要标志，这是课堂焕发生命活力的源泉。《数学课程标准》指出：“允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，用不同的知识与方法解决问题”。新课程指出课堂教学是师生互动的共同发展的过程。在教学苏教版第九册《较复杂的平均数应用题》时，学生对平均数意义的理解往往出现认识上的偏差，奇怪的是每年都出现这样的情况。

2004年课堂现象摘录：

1、独立解决：“五（3）班男生35人，共402岁；女生26人，共301岁。求全班的平均年龄。”（学生都使用计算器）

生1：（402÷35+301÷26）÷2=11.5（岁）

生2：（402+301）÷（35+26）≈11.52（岁）

师：看了黑板上两位同学的做法，你有什么想法？

生1：得数为什么是小数？

生2：岁数应该是整数。（402+301）÷（35+26）≈12（岁）

师：“这两种方法究竟哪一种是对的？”

生：两种算式的结果都差不多，如果保留整数，都是12岁，所以两种算式都对的。（很多人表示赞同）。

师：“如果两种方法都对，那么结果应该是一样的，根据数量关系式，要把全班的年龄和除以全班的人数才是全班的平均年龄，所以第二种算法是对的。”其实一些聪明的人更认为第一种算法是最简便的！结果的惊人相似，怎么让他反思自己的想法的错误呢？“平均数的平均数”，怎么也走不出这个思维怪圈！

[反思：]学生的生活经验似乎年龄都应该是整数，部分学生计算后也取整数的近似值。怎么现在的平均年龄都是小数，实在是想不通。另外，全班的平均年龄为什么不能用男生的平均年龄加上女生的平均年龄再除以2呢？怎样让学生体验到平均数取值的精确度呢？反思学生是怎样理解平均数的实际意义的呢？

2005年12月8日改进后教学：

1、结合冬季跳绳运动项目，课前特意统计每个学生“1分钟跳绳”（单跳）情况，并摘录于黑板左上角，让学生先估计全班1分钟跳绳的平均数。然后教师提供对原始数据整理后的信息：我班男生21人，共跳绳2239下；女生9人，共跳绳955下。全班平均每人跳多少下？

2、新五（3）班学生“1分钟跳绳”（单跳），经统计：男生12人，平均每人跳95.1下；女生18人，平均每人跳120下。全班平均每人跳多少下？

果然，有学生又把平均数加起来除以2啦！看来这陷阱还是具有普遍性的。此时，我们对学生的认识进行了统计，发现所教的两个班有惊人的相似，全班30人竟有二十六、七人觉得这样列式似乎也正确呀，可是这就是凭直觉，谁也说不清什么理儿，也真有人说保留整数结果就一样了。我仿佛从学生的脸上感受到此时的空气都凝固了，课堂环境就这样被笼罩着一份神秘，解开这个谜团，成为学生的强烈需要。此时，有一个女生说：“我感觉这样列式是一个男生和一个女生平均。”我趁机让一个男生和一个女生站起来，再让另一个男生和另一个女生站起来，让学生想象这样能扯平吗？接着再用课件形象地演示移多补少的条形图，学生直观感知，只有当男女生人数相等时才能这样列式。

反思：概念理解上的偏差与学习活动设计之间的关系。

学生对平均数的意义的理解上有偏差。平均年龄之所以可能是小数，因为平均数反映的是一组数的整体趋向；而平时（生活中）常说的一个人的年龄都是整数，它是一个单独的个体。学生不能清晰地区分这一个体与整体趋向之间的关系，也就是不能真正理解平均数的内涵，必须帮助学生建立起想象中的同样多与事实上的不完全相等的一个个个体之间的桥梁，这就需要课堂学习活动中加强直观形象的操作与理解，巧用估计，进一步发展学生的数感。

教材的编排与学生的认知水平的局限性往往也是造成学生概念偏差的原因。因为，在学生没有学习小数除法时，他们所接触到的平均数应用题的结果都是整数，这无疑增强了学生的负迁移，所以确定平均数的范围难道不也是一个很重要的学习目标或学习策略吗？

在生活中的广泛运用，价值体现，不也是平均数意义的活生生的理解吗？只有理解了的东西，我们才能更清晰地认识它吧。所以，我们要思考我们的学习活动设计是否真的让学生走进了生活，是否培养了学生用平均数的眼光来观察、分析身边的事物或现象。

《循环小数》是借助计算来感悟的概念课。概念中的关键字词很多很繁，甚至很难用语言描述清楚，其突破口在哪儿？一句话，利用学生的资源呗。利用学生的评价，使概念不断清晰化、明朗化。

让学生计算(四位学生板演)1.2÷25= 8.666÷0.2= 32÷6= 2.7÷11=

有一位特别调皮的男生故意反问：“你又没除完，为什么不继续除下去？”虽是故意刁难，但也击中要害！

在评价收集来的学生的所有信息时，更是把课堂思维推向高潮。请看学生的不同书写形式：

2.7÷11=0.2454…… (李思瑶),

2.7÷11=0.245…… (卞 卡),

2.7÷11=0.245 (吴 锋),

2.7÷11=0.24545…… (陈奕滔),

2.7÷11=0.24545454……(陈 敏),

学生的丰富资源引发学生的观察、比较、发现与评价。学生的发言是“我想对某某同学说……”“你没有省略号是错的，因为……”“你的省略号表示什么意思？”“你重复的是哪些数字？”引导学生欣赏：“你最欣赏谁的书写形式？”体验了书写的简捷美。同时，有的学生有了更进一步的思考，促成了课堂的生成：“我猜想，假如商是0.2456456……，那么，竖式中是否隔开两个数字（余数）重复出现？”学生的这一质疑，一方面，证明他似乎感觉到了余数的不断重复出现，导致商也依次不断地重复出现的规律；另一方面，也看出了教师提供给学生的探索材料的单一性和局限性。所以，我们往往从学生的质疑或回答里看出了我们学习活动设计上的弱点，及时地来调整自己的教学。

当学生第一次接触到一个具有质变意义的知识时，它最大的敌人恐怕是教师的成人化经验或想当然。最近，我根据苏教版教材第十册第116页例题5做了一个有趣的实验。（教材例5，一块菜地，它的2/15中青椒，4/15种西红柿，其余的种黄瓜。种黄瓜的地占这块地的几分之几？）虽然学生在学习分数的意义后，就对单位“1”有了自己的理解，但是用单位“1”作被减数参与列式，似乎还是第一次！所以学生怎么会想到用单位“1”作被减数呢？带着一份好奇与“探险”，我创设了这样的真实情景：“我们的练习册一共有84页，已经完成了这本练习册的16/21。还剩全书的几分之几没做？”我先问我的同年级教师，学生会怎么想？他们毫不犹豫地说：“用单位‘1’减呗！学生会怎么想，我不知道！”

两个班有趣的课堂现象：大部分学生这样列式，16/21=64/84，84-64=20，20÷84=5/21。有2个学生这样列式，21/21-16/21=5/21。有2个学生这样列式， 1-16/21=5/21。有1个学生这样列式，21-16=5，5÷21=5/21。其中，有一个班只出现前面的两种方法！现在你会感觉到用单位‘1’减，并不是一件很容易的事吧。于是，在组织评价交流时，我先统计你能看懂哪一种方法？结果，学生都能看懂第一种，接着，学生又说：“第二种、第三种方法也结果一样，虽然看起来很简单，但是很难理解！”我顺势追问：“那你能看懂21/21是什么意思吗？”学生说：“是84/84约分得来的。”“那为什么偏偏要约成21/21呢？21/21到底是什么意思？”终于有学生用单位“1”来解释啦，通过学生的口头描述，教师及时画成线段图，帮助学生架起从具体数量到抽象单位“1”的桥梁。这时，奇怪的现象发生了——学生又改口说：“现在感觉第三种方法，既简单又容易理解！”

从学生的这一课堂现象，我们清晰地看到学生认识过程的变化，自我建构的重组。对抽象化的单位“1”的理解非常深刻和强烈，画线段图也成了学生的需要和解决问题的手段。教师在学生思维质变处精心架起桥梁，要学会重墨渲染，让学生经历自我完善、自我提升的过程。

课堂学习活动设计中，教师要能预测学生的各种想法，尤其是错误的想法或自发形成的问题，是教师有效控制课堂的源泉。这一点是十分重要的，这是对学生经验的课程的积累上的更进教学。

另外，要处理好课堂思维环境的营造与课堂学习活动的设计之间的关系。在积累学生经验的课程上，不断更进教学设计，在重点、难点的处理上，转化成学习活动，又反弹到学生的思维深处，收集来自于学生自己的、迫切需要解决的、又有质量的问题，教师可以适当渲染这个问题，或适当帮助学生提炼这个问题，营造良好的课堂思维环境，既真正地尊重了学生，又大大激发学生的学习积极性和主动性，让课堂的情感线索和认知线索交相辉映，有机融合。符合学生需要的课堂学习活动设计有效地促进了课堂思维环境的生成，同时，良好的课堂思维环境的生成又向课堂学习活动设计提出了更高的要求。

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