人的记忆力会随着岁月的流逝而衰退，写作可以弥补记忆的不足，将曾经的人生经历和感悟记录下来，也便于保存一份美好的回忆。大家想知道怎么样才能写一篇比较优质的范文吗？以下是我为大家搜集的优质范文，仅供参考，一起来看看吧

与圆有关的比例线段知识点 圆中比例线段的题目解法篇一

1、教材分析

(1)知识结构

(2)重点、难点分析

重点:相交弦定理及其推论,切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点,而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识,主要应用与圆有关的计算和证实.

难点:正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多,学生轻易混淆.

2、教学建议

本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论,做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论,做例3.第3课时是习题课,讲例4并做有关的练3.

(1)教师通过教学,组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题,逐步培养学生研究性学习意识,激发学生的学习热情;

(2)在教学中,引导学生“观察——猜想——证实——应用”等学习,教师组织下,以学生为主体开展教学活动.

第1课时:相交弦定理

教学目标:

1.理解相交弦定理及其推论,并初步会运用它们进行有关的简单证实和计算;

2.学会作两条已知线段的比例中项;

3.通过让学生自己发现问题,调动学生的思维积极性,培养学生发现问题的能力和探索精神;

4.通过推论的推导,向学生渗透由一般到非凡的思想方法.

教学重点:

正确理解相交弦定理及其推论.

教学难点:

在定理的叙述和应用时,学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混,从而导致证实中发生错误,因此务必使学生清楚定理的提出和证实过程,了解是哪两个三角形相似,从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.

教学活动设计

(一)设置学习情境

1、图形变换:(利用电脑使ab与cd弦变动)

①引导学生观察图形,发现规律:∠a=∠d,∠c=∠b.

②进一步得出:△apc∽△dpb.

.

③假如将图形做些变换,去掉ac和bd,图中线段 pa,pb,pc,po之间的关系会发生变化吗?为什么?

组织学生观察,并回答.

2、证实:

已知:弦ab和cd交于⊙o内一点p.

求证:pa·pb=pc·pd.

(a层学生要练习学生写出已知、求证、证实;b、c层学生在老师引导下完成)

(证实略)

(二)定理及推论

1、相交弦定理: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.

结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理:在⊙o中;弦ab,cd相交于点p,那么pa·pb=pc·pd.

2、从一般到非凡,发现结论.

对两条相交弦的位置进行适当的调整,使其中一条是直径,并且它们互 相垂直如图,ab是直径,并且ab⊥cd于p.

提问:根据相交弦定理,能得到什么结论?

指出:pc2=pa·pb.

请学生用文字语言将这一结论叙述出来,假如叙述不完全、不准确.教师纠正,并板书.

推论 假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.

3、深刻理解推论:由于圆是轴对称图形,上述结论又可叙述为:半圆上一点c向直径ab作垂线,垂足是p,则pc2=pa·pb.

若再连结ac,bc,则在图中又出现了射影定理的基本图形,于是有:

pc2=pa·pb ;ac2=ap·ab;cb2=bp·ab

(三)应用、反思

例1 已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段,第二条弦的长为32厘米,求第二条弦被交点分成的两段的长.

引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.

例2 已知:线段a,b.

求作:线段c,使c2=ab.

分析:这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式,因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆,仿照推论即可作出要求作的线段.

作法:口述作法.

反思:这个作图是作两已知线段的比例中项的问题,可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.

练习1 如图,ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp=1厘米,求cd.

变式练习:若ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp,dp的长度皆为整数.那么cd的长度是 多少?

将条件隐化,增加难度,提高学生学习爱好

练习2 如图,cd是⊙o的直径,ab⊥cd,垂足为p,ap=4厘米,pd=2厘米.求po的长.

练习3 如图:在⊙o中,p是弦ab上一点,op⊥pc,pc 交⊙o于c. 求证:pc2=pa·pb

引导学生分析:由ap·pb,联想到相交弦定理,于是想到延长 cp交⊙o于d,于是有pc·pd=pa·pb.又根据条件op⊥pc.易 证得pc=pd问题得证.

(四)小结

知识:相交弦定理及其推论;

能力:作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;

思想方法:学习了由一般到非凡(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.

(五)作业

教材p132中 9,10;p134中b组4(1).

第2课时 切割线定理

教学目标:

1.把握切割线定理及其推论,并初步学会运用它们进行计算和证实;

2.把握构造相似三角形证实切割线定理的方法与技巧,培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论,培养学生辩证唯物主义的观点.

教学重点:

理解切割线定理及其推论,它是以后学习中经常用到的重要定理.

教学难点:

定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.

教学活动设计

(一)提出问题

1、引出问题:相交弦定理是两弦相交于圆内一点.假如两弦延长交于圆外一点p,那么该点到割线与圆交点的四条线段pa,pb,pc,pd的长之间有什么关系?(如图1)

当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时,由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长pa,pb,pt之间又有什么关系?

2、猜想:引导学生猜想出图中三条线段pt,pa,pb间的关系为pt2=pa·pb.

3、证实:

让学生根据图2写出已知、求证,并进行分析、证实猜想.

分析:要证pt2=pa·pb, 可以证实,为此可证以 pa·pt为边的三角形与以pt,bp为边的三角形相似,于是考虑作辅助线tp,pb.(图3).轻易证实∠pta=∠b又∠p=∠p,因此△bpt∽△tpa,于是问题可证.

4、引导学生用语言表达上述结论.

切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

(二)切割线定理的推论

1、再提出问题:当pb、pd为两条割线时,线段pa,pb,pc,pd之间有什么关系?

观察图4,提出猜想:pa·pb=pc·pd.

2、组织学生用多种方法证实:

方法一:要证pa·pb=pc·pd,可证此可证以pa,pc为边的三角形和以pd,pb为边的三角形相似,所以考虑作辅助线ac,bd,轻易证实∠pac=∠d,∠p=∠p,因此△pac∽△pdb. (如图4)

方法二:要证,还可考虑证实以pa,pd为边的三角形和以pc、pb为边的三角形相似,所以考虑作辅助线ad、cb.轻易证实∠b=∠d,又∠p=∠p. 因此△pad∽△pcb.(如图5)

方法三:引导学生再次观察图2,2=pa·pb,同时pt2=pc·pd,于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd

推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(也叫做割线定理)

(三)初步应用

例1 已知:如图6,⊙o的割线pab交⊙o于点a和b,pa=6厘米,ab=8厘米, po=10.9厘米,求⊙o的半径.

分析:由于po既不是⊙o的切线也不是割线,故须将po延长交⊙o于d,构成了圆的一条割线,而od又恰好是⊙o的半径,于是运用切割线定理的推论,问题得解.

(解略)教师示范解题.

例2 已知如图7,线段ab和⊙o交于点c,d,ac=bd,ae,bf分别切⊙o于点e,f,

求证:ae=bf.

分析:要证实的两条线段ae,bf均与⊙o相切,且从a、b 两点出发引的割线acd和bdc在同一直线上,且ac=bd,ad=bc. 因此它们的积相等,问题得证.

学生自主完成,教师随时纠正学生解题过程中出现的错误,如ae2=ac·cd和bf2=bd·dc等.

巩固练习:p128练习1、2题

(四)小结

知识:切割线定理及推论;

能力:结合具体图形时,应能写出正确的等积式;

方法:在证实切割线定理和推论时,所用的构造相似三角形的方法十分重要,应注重很好地把握.

(五)作业教材p132中,11、12题.

探究活动

最佳射门位置

国际足联规定法国世界杯决赛阶段,比赛场地长105米,宽68米,足球门宽7.32米,高2.44米,试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).

分析与解 是足球门,点p是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置,即向p上方或下方移动,视角都变小,因此点p实际上是过a、b且与边线相切的圆的切点,如图1所示.即op是圆的切线,而ob是圆的割线.

故 ,又 ,

ob=30.34 7.32=37.66.

op= (米).

注:上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△bop可为任意角.

与圆有关的比例线段知识点 圆中比例线段的题目解法篇二

教学目标：1、使学生理解切割线定理及其推论；2、使学生初步学会运用切割线定理及其推论.3、通过对切割线定理及推论的证明，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力；4、通过对切割线定理及其推论的初步运用，培养学生的分析问题能力.在上节我们曾经学到相交弦定理及其推论，它反映了圆中两弦的数量关系；我们可以用同样的方法来研究圆的一条切线和一条割线的数量关系.教学重点： 使学生理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.教学难点：学生不能准确叙述切割线定理及其推论，针对具体图形学生很容易得到数量关系，但把它用语言表达，学生感到困难.教学过程：一、新课引入：我们已经学过相交弦定理及其推论，现在我们用同样的数学思想方法来研究圆的另外的比例线段.二、新课讲解：现在请同学们在练习本上画⊙o，在⊙o外一点p引⊙o的切线pt，切点为t，割线pba，以点p、b、a、t为顶点作三角形，可以作几个三角形呢？它们中是否存在着相似三角形？如果存在，你得到了怎样的比例线段？可转化成怎样的积式？现在请同学们打开练习本，按要求作⊙o的切线pt和割线pba，后研究讨论一下.学生动手画图，完成证明，教师巡视，当所有学生都得到数量关系式时，教师打开计算机或幻灯机用动画演示.最终教师指导学生把数量关系转成语言叙述，完成切割线定理及其推论.1.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.关系式：pt2=pa·pb

2.切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线.这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.数量关系式：pa·pb=pc·pb.

切割线定理及其推论也是圆中的比例线段，在今后的学习中有着重要的意义，务必使学生清楚，真正弄懂切割线定理的数量关系后，再把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样，定理叙述并不困难.练习一，p.128中1、选择题：如图7-86，⊙o的两条弦ab、cd相交于点e，ac和db的延长线交于点p，下列结论成立的是                                                                               [    ]

·ca=pb··ae=be··cd=be··pd=pc·pa答案：(d)，直接运用和圆有关的比例线段进行选择.练习二，p.128中2、如图7-87，已知：rt△abc的两条直角边ac、bc的长分别为3cm、4cm，以ac为直径作圆与斜边ab交于点d，求bd的长.

此题已知rt△abc中的边ac、bc，则ab可知.容易证出bc切⊙o于c，于是产生切割线定理，bd可求.练习三，p.128中3.如图7-88，线段ab和⊙o交于c、d，ac=bd，ae、bf分别切⊙o于e、f.求证：ae=bf.

本题可直接运用切割线定理.例3  p.127，如图7-89，已知：⊙o的割线pab交⊙o于点a和b，pa=6cm，ab=8cm，po=10.9cm.求⊙o的半径.

此题要通过计算得到⊙o的半径，必须使半径进入一个数量关系式，观察图形，可知只要延长po与圆交于另一点，则可产生切割线定理的推论，而其中一条割线恰好经过圆心，在线段中自然可以参与进半径，从而由等式中求出半径.必须使学生清楚这种数学思想方法，结合图形，正确使用和圆有关的比例线段，则关系式中必有两条线段是半径的代数式构成，只要解关于半径的一元二次方程即可.解：设⊙o的半径为r，po和它的长延长线交⊙o于c、d.(10.9-r)(10.9+r)=6×14r=5.9(取正数解)答：⊙o的半径为5.9.三、课堂小结：为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材p.127—p.128.总结出本课主要内容：1.切割线定理及其推论：它是圆的重要比例线段，它反映的是圆的切线和割线所产生的数量关系.需要指出的是，只有从圆外一点，才可能产生切割线定理或推论.切割线定理是指一条切线和一条割线；推论是指两条割线，只有使学生弄清前提，才能正确运用定理.2.通过对例3的分析，我们应该掌握这类问题的思想方法，掌握规律、运用规律.四、布置作业：1.教材  p.132中10；2.p.132中11.

与圆有关的比例线段知识点 圆中比例线段的题目解法篇三

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.

难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.

2、教学建议

本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.

（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性意识，激发学生的热情；

（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等，教师组织下，以学生为主体开展教学活动.

：

1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；

2.学会作两条已知线段的比例中项；

3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；

4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.

：

正确理解相交弦定理及其推论.

：

在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.

情境1、

结合图形让学生用语言表达相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于点p，那么pa·pb＝pc·pd.

2、从一般到特殊，发现结论.

对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，ab是直径，并且ab⊥cd于p.

提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?

指出：pc2＝pa·pb.

请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.教师纠正，并板书.

3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点c向直径ab作垂线，垂足是p，则pc2＝pa·pb. 

若再连结ac，bc，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：

pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab

例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.

引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.

例2  已知：线段a，b.

求作：线段c，使c2＝ab.

分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.

作法：口述作法.

这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.

练习1 如图，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.

变式练习：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的长度皆为整数.那么cd的长度是 多少?

将条件隐化，增加难度，提高学生兴趣

练习2 如图，cd是⊙o的直径，ab⊥cd，垂足为p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的长.

练习3  如图：在⊙o中，p是弦ab上一点，op⊥pc，pc 交⊙o于c.  求证：pc2＝pa·pb 

引导学生分析：由ap·pb，联想到相交弦定理，于是想到延长 cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根据条件op⊥pc.易 证得pc＝pd问题得证.

（

知识：相交弦定理及其推论；

能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；

思想方法：了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.

教材p132中 9，10；p134中b组4(1).

：

1.掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；

2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

3.能够用运动的观点切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.

：

理解切割线定理及其推论，它是以后中经常用到的重要定理.

：

定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.

1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点p，那么该点到割线与圆交点的四条线段pa，pb，pc，pd的长之间有什么关系？(如图1)

当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长pa，pb，pt之间又有什么关系？

2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段pt，pa，pb间的关系为pt2=pa·pb.

3、证明：

让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想.

分析：要证pt2=pa·pb，  可以证明，为此可证以 pa·pt为边的三角形与以pt，bp为边的三角形相似，于是考虑作辅助线tp，pb.(图3).容易证明∠pta=∠b又∠p=∠p，因此△bpt∽△tpa，于是问题可证.

4、引导学生用语言表达上述结论.

（二）切割线定理的推论

1、再提出问题：当pb、pd为两条割线时，线段pa，pb，pc，pd之间有什么关系?

观察图4，提出猜想：pa·pb=pc·pd.

2、组织学生用多种方法证明：

方法一：要证pa·pb=pc·pd，可证此可证以pa，pc为边的三角形和以pd，pb为边的三角形相似，所以考虑作辅助线ac，bd，容易证明∠pac=∠d，∠p=∠p，因此△pac∽△pdb.  (如图4)

方法二：要证，还可考虑证明以pa，pd为边的三角形和以pc、pb为边的三角形相似，所以考虑作辅助线ad、cb.容易证明∠b=∠d，又∠p=∠p.  因此△pad∽△pcb.(如图5)

方法三：引导学生再次观察图2，2=pa·pb，同时pt2=pc·pd，于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd

（三）初步应用

例1  已知：如图6，⊙o的割线pab交⊙o于点a和b，pa=6厘米，ab=8厘米， po=109厘米，求⊙o的半径.

分析：由于po既不是⊙o的切线也不是割线，故须将po延长交⊙o于d，构成了圆的一条割线，而od又恰好是⊙o的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.

（解略）教师示范解题.

例2  已知如图7，线段ab和⊙o交于点c，d，ac＝bd，ae，bf分别切⊙o于点e，f，

求证：ae＝bf.

分析：要证明的两条线段ae，bf均与⊙o相切，且从a、b 两点出发引的割线acd和bdc在同一直线上，且ac＝bd，ad＝bc.  因此它们的积相等，问题得证.

学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如ae2＝ac·cd和bf2＝bd·dc等.

（四）小结

知识：切割线定理及推论；

能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；

方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.

（五）作业 教材p132中，11、12题.

最佳射门位置

国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).

分析与解 是足球门，点p是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向p上方或下方移动，视角都变小，因此点p实际上是过a、b且与边线相切的圆的切点，如图1所示.即op是圆的切线，而ob是圆的割线.

故 ，又 ，

ob=3034+732＝3766.

op= (米).

注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△bop可为任意角.

与圆有关的比例线段知识点 圆中比例线段的题目解法篇四

建议

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.

难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.

2、建议

本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.

（1）通过，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；

（2）在中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，组织下，以学生为主体开展活动.

目标：

1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；

2.学会作两条已知线段的比例中项；

3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；

4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.

重点：

正确理解相交弦定理及其推论.

难点：

在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.

活动设计

1、图形变换：（利用电脑使ab与cd弦变动）

①引导学生观察图形，发现规律：∠a＝∠d，∠c＝∠b.

②进一步得出：△apc∽△dpb.

.

③如果将图形做些变换，去掉ac和bd，图中线段 pa，pb，pc，po之间的关系会发生变化吗?为什么?

组织学生观察，并回答.

2、证明：

已知：弦ab和cd交于⊙o内一点p.

求证：pa·pb＝pc·pd.

（a层学生要训练学生写出已知、求证、证明；b、c层学生在老师引导下完成）

（证明略）

1、

结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于点p，那么pa·pb＝pc·pd.

2、从一般到特殊，发现结论.

对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，ab是直径，并且ab⊥cd于p.

提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?

指出：pc2＝pa·pb.

请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.纠正，并.

3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点c向直径ab作垂线，垂足是p，则pc2＝pa·pb. 

若再连结ac，bc，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：

pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab

例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.

引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.

例2  已知：线段a，b.

求作：线段c，使c2＝ab.

分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.

作法：口述作法.

这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.

练习1 如图，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.

变式练习：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的长度皆为整数.那么cd的长度是 多少?

将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣

练习2 如图，cd是⊙o的直径，ab⊥cd，垂足为p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的长.

练习3  如图：在⊙o中，p是弦ab上一点，op⊥pc，pc 交⊙o于c.  求证：pc2＝pa·pb 

引导学生分析：由ap·pb，联想到相交弦定理，于是想到延长 cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根据条件op⊥pc.易 证得pc＝pd问题得证.

（

知识：相交弦定理及其推论；

能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；

思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.

教材p132中 9，10；p134中b组4(1).

第 1 2 页  

与圆有关的比例线段知识点 圆中比例线段的题目解法篇五

建议

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.

难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.

2、建议

本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.

（1）通过，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；

（2）在中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，组织下，以学生为主体开展活动.

目标：

1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；

2.学会作两条已知线段的比例中项；

3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；

4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.

重点：

正确理解相交弦定理及其推论.

难点：

在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.

活动设计

1、图形变换：（利用电脑使ab与cd弦变动）

①引导学生观察图形，发现规律：∠a＝∠d，∠c＝∠b.

②进一步得出：△apc∽△dpb.

.

③如果将图形做些变换，去掉ac和bd，图中线段 pa，pb，pc，po之间的关系会发生变化吗?为什么?

组织学生观察，并回答.

2、证明：

已知：弦ab和cd交于⊙o内一点p.

求证：pa·pb＝pc·pd.

（a层学生要训练学生写出已知、求证、证明；b、c层学生在老师引导下完成）

（证明略）

1、

结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于点p，那么pa·pb＝pc·pd.

2、从一般到特殊，发现结论.

对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，ab是直径，并且ab⊥cd于p.

提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?

指出：pc2＝pa·pb.

请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.纠正，并.

3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点c向直径ab作垂线，垂足是p，则pc2＝pa·pb. 

若再连结ac，bc，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：

pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab

例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.

引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.

例2  已知：线段a，b.

求作：线段c，使c2＝ab.

分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.

作法：口述作法.

这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.

练习1 如图，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.

变式练习：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的长度皆为整数.那么cd的长度是 多少?

将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣

练习2 如图，cd是⊙o的直径，ab⊥cd，垂足为p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的长.

练习3  如图：在⊙o中，p是弦ab上一点，op⊥pc，pc 交⊙o于c.  求证：pc2＝pa·pb 

引导学生分析：由ap·pb，联想到相交弦定理，于是想到延长 cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根据条件op⊥pc.易 证得pc＝pd问题得证.

（

知识：相交弦定理及其推论；

能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；

思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.

教材p132中 9，10；p134中b组4(1).

目标：

1.掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；

2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.

重点：

理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.

难点：

定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.

活动设计

1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点p，那么该点到割线与圆交点的四条线段pa，pb，pc，pd的长之间有什么关系？(如图1)

当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长pa，pb，pt之间又有什么关系？

2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段pt，pa，pb间的关系为pt2=pa·pb.

3、证明：

让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想.

分析：要证pt2=pa·pb，  可以证明，为此可证以 pa·pt为边的三角形与以pt，bp为边的三角形相似，于是考虑作辅助线tp，pb.(图3).容易证明∠pta=∠b又∠p=∠p，因此△bpt∽△tpa，于是问题可证.

4、引导学生用语言表达上述结论.

（二）切割线定理的推论

1、再提出问题：当pb、pd为两条割线时，线段pa，pb，pc，pd之间有什么关系?

观察图4，提出猜想：pa·pb=pc·pd.

2、组织学生用多种方法证明：

方法一：要证pa·pb=pc·pd，可证此可证以pa，pc为边的三角形和以pd，pb为边的三角形相似，所以考虑作辅助线ac，bd，容易证明∠pac=∠d，∠p=∠p，因此△pac∽△pdb.  (如图4)

方法二：要证，还可考虑证明以pa，pd为边的三角形和以pc、pb为边的三角形相似，所以考虑作辅助线ad、cb.容易证明∠b=∠d，又∠p=∠p.  因此△pad∽△pcb.(如图5)

方法三：引导学生再次观察图2，2=pa·pb，同时pt2=pc·pd，于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd

（三）初步应用

例1  已知：如图6，⊙o的割线pab交⊙o于点a和b，pa=6厘米，ab=8厘米， po=109厘米，求⊙o的半径.

分析：由于po既不是⊙o的切线也不是割线，故须将po延长交⊙o于d，构成了圆的一条割线，而od又恰好是⊙o的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.

（解略）示范解题.

例2  已知如图7，线段ab和⊙o交于点c，d，ac＝bd，ae，bf分别切⊙o于点e，f，

求证：ae＝bf.

分析：要证明的两条线段ae，bf均与⊙o相切，且从a、b 两点出发引的割线acd和bdc在同一直线上，且ac＝bd，ad＝bc.  因此它们的积相等，问题得证.

学生自主完成，随时纠正学生解题过程中出现的错误，如ae2＝ac·cd和bf2＝bd·dc等.

（四）小结

知识：切割线定理及推论；

能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；

方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.

（五）作业 教材p132中，11、12题.

最佳射门位置

国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足球门宽7.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).

分析与解 是足球门，点p是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向p上方或下方移动，视角都变小，因此点p实际上是过a、b且与边线相切的圆的切点，如图1所示.即op是圆的切线，而ob是圆的割线.

故 ，又 ，

ob=3034+732＝3766.

op=(米).

注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△bop可为任意角.

与圆有关的比例线段知识点 圆中比例线段的题目解法篇六

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.

难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.

2、教学建议

本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.

（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性意识，激发学生的热情；

（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等，教师组织下，以学生为主体开展教学活动.

：

1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；

2.学会作两条已知线段的比例中项；

3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；

4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.

：

正确理解相交弦定理及其推论.

：

在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.

情境1、

结合图形让学生用语言表达相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于点p，那么pa·pb＝pc·pd.

2、从一般到特殊，发现结论.

对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，ab是直径，并且ab⊥cd于p.

提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?

指出：pc2＝pa·pb.

请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.教师纠正，并板书.

3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点c向直径ab作垂线，垂足是p，则pc2＝pa·pb. 

若再连结ac，bc，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：

pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab

例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.

引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.

例2  已知：线段a，b.

求作：线段c，使c2＝ab.

分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.

作法：口述作法.

这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.

练习1 如图，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.

变式练习：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的长度皆为整数.那么cd的长度是 多少?

将条件隐化，增加难度，提高学生兴趣

练习2 如图，cd是⊙o的直径，ab⊥cd，垂足为p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的长.

练习3  如图：在⊙o中，p是弦ab上一点，op⊥pc，pc 交⊙o于c.  求证：pc2＝pa·pb 

引导学生分析：由ap·pb，联想到相交弦定理，于是想到延长 cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根据条件op⊥pc.易 证得pc＝pd问题得证.

（

知识：相交弦定理及其推论；

能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；

思想方法：了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.

教材p132中 9，10；p134中b组4(1).

：

1.掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；

2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

3.能够用运动的观点切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.

：

理解切割线定理及其推论，它是以后中经常用到的重要定理.

：

定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.

1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点p，那么该点到割线与圆交点的四条线段pa，pb，pc，pd的长之间有什么关系？(如图1)

当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长pa，pb，pt之间又有什么关系？

2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段pt，pa，pb间的关系为pt2=pa·pb.

3、证明：

让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想.

分析：要证pt2=pa·pb，  可以证明，为此可证以 pa·pt为边的三角形与以pt，bp为边的三角形相似，于是考虑作辅助线tp，pb.(图3).容易证明∠pta=∠b又∠p=∠p，因此△bpt∽△tpa，于是问题可证.

4、引导学生用语言表达上述结论.

（二）切割线定理的推论

1、再提出问题：当pb、pd为两条割线时，线段pa，pb，pc，pd之间有什么关系?

观察图4，提出猜想：pa·pb=pc·pd.

2、组织学生用多种方法证明：

方法一：要证pa·pb=pc·pd，可证此可证以pa，pc为边的三角形和以pd，pb为边的三角形相似，所以考虑作辅助线ac，bd，容易证明∠pac=∠d，∠p=∠p，因此△pac∽△pdb.  (如图4)

方法二：要证，还可考虑证明以pa，pd为边的三角形和以pc、pb为边的三角形相似，所以考虑作辅助线ad、cb.容易证明∠b=∠d，又∠p=∠p.  因此△pad∽△pcb.(如图5)

方法三：引导学生再次观察图2，2=pa·pb，同时pt2=pc·pd，于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd

（三）初步应用

例1  已知：如图6，⊙o的割线pab交⊙o于点a和b，pa=6厘米，ab=8厘米， po=109厘米，求⊙o的半径.

分析：由于po既不是⊙o的切线也不是割线，故须将po延长交⊙o于d，构成了圆的一条割线，而od又恰好是⊙o的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.

（解略）教师示范解题.

例2  已知如图7，线段ab和⊙o交于点c，d，ac＝bd，ae，bf分别切⊙o于点e，f，

求证：ae＝bf.

分析：要证明的两条线段ae，bf均与⊙o相切，且从a、b 两点出发引的割线acd和bdc在同一直线上，且ac＝bd，ad＝bc.  因此它们的积相等，问题得证.

学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如ae2＝ac·cd和bf2＝bd·dc等.

（四）小结

知识：切割线定理及推论；

能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；

方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.

（五）作业 教材p132中，11、12题.

最佳射门位置

国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).

分析与解 是足球门，点p是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向p上方或下方移动，视角都变小，因此点p实际上是过a、b且与边线相切的圆的切点，如图1所示.即op是圆的切线，而ob是圆的割线.

故 ，又 ，

ob=3034+732＝3766.

op= (米).

注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△bop可为任意角.

与圆有关的比例线段知识点 圆中比例线段的题目解法篇七

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.

难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.

2、教学建议

本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.

（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性意识，激发学生的热情；

（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等，教师组织下，以学生为主体开展教学活动.

：

1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；

2.学会作两条已知线段的比例中项；

3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；

4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.

：

正确理解相交弦定理及其推论.

：

在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.

情境1、

结合图形让学生用语言表达相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于点p，那么pa·pb＝pc·pd.

2、从一般到特殊，发现结论.

对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，ab是直径，并且ab⊥cd于p.

提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?

指出：pc2＝pa·pb.

请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.教师纠正，并板书.

3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点c向直径ab作垂线，垂足是p，则pc2＝pa·pb. 

若再连结ac，bc，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：

pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab

例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.

引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.

例2  已知：线段a，b.

求作：线段c，使c2＝ab.

分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.

作法：口述作法.

这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.

练习1 如图，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.

变式练习：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的长度皆为整数.那么cd的长度是 多少?

将条件隐化，增加难度，提高学生兴趣

练习2 如图，cd是⊙o的直径，ab⊥cd，垂足为p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的长.

练习3  如图：在⊙o中，p是弦ab上一点，op⊥pc，pc 交⊙o于c.  求证：pc2＝pa·pb 

引导学生分析：由ap·pb，联想到相交弦定理，于是想到延长 cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根据条件op⊥pc.易 证得pc＝pd问题得证.

（

知识：相交弦定理及其推论；

能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；

思想方法：了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.

教材p132中 9，10；p134中b组4(1).

：

1.掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；

2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

3.能够用运动的观点切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.

：

理解切割线定理及其推论，它是以后中经常用到的重要定理.

：

定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.

1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点p，那么该点到割线与圆交点的四条线段pa，pb，pc，pd的长之间有什么关系？(如图1)

当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长pa，pb，pt之间又有什么关系？

2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段pt，pa，pb间的关系为pt2=pa·pb.

3、证明：

让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想.

分析：要证pt2=pa·pb，  可以证明，为此可证以 pa·pt为边的三角形与以pt，bp为边的三角形相似，于是考虑作辅助线tp，pb.(图3).容易证明∠pta=∠b又∠p=∠p，因此△bpt∽△tpa，于是问题可证.

4、引导学生用语言表达上述结论.

（二）切割线定理的推论

1、再提出问题：当pb、pd为两条割线时，线段pa，pb，pc，pd之间有什么关系?

观察图4，提出猜想：pa·pb=pc·pd.

2、组织学生用多种方法证明：

方法一：要证pa·pb=pc·pd，可证此可证以pa，pc为边的三角形和以pd，pb为边的三角形相似，所以考虑作辅助线ac，bd，容易证明∠pac=∠d，∠p=∠p，因此△pac∽△pdb.  (如图4)

方法二：要证，还可考虑证明以pa，pd为边的三角形和以pc、pb为边的三角形相似，所以考虑作辅助线ad、cb.容易证明∠b=∠d，又∠p=∠p.  因此△pad∽△pcb.(如图5)

方法三：引导学生再次观察图2，2=pa·pb，同时pt2=pc·pd，于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd

（三）初步应用

例1  已知：如图6，⊙o的割线pab交⊙o于点a和b，pa=6厘米，ab=8厘米， po=109厘米，求⊙o的半径.

分析：由于po既不是⊙o的切线也不是割线，故须将po延长交⊙o于d，构成了圆的一条割线，而od又恰好是⊙o的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.

（解略）教师示范解题.

例2  已知如图7，线段ab和⊙o交于点c，d，ac＝bd，ae，bf分别切⊙o于点e，f，

求证：ae＝bf.

分析：要证明的两条线段ae，bf均与⊙o相切，且从a、b 两点出发引的割线acd和bdc在同一直线上，且ac＝bd，ad＝bc.  因此它们的积相等，问题得证.

学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如ae2＝ac·cd和bf2＝bd·dc等.

（四）小结

知识：切割线定理及推论；

能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；

方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.

（五）作业 教材p132中，11、12题.

最佳射门位置

国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).

分析与解 是足球门，点p是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向p上方或下方移动，视角都变小，因此点p实际上是过a、b且与边线相切的圆的切点，如图1所示.即op是圆的切线，而ob是圆的割线.

故 ，又 ，

ob=3034+732＝3766.

op=(米).

注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△bop可为任意角.