2023年北师大版九年级中考数学基础题 北师大版九年级数学题库(5篇)

北师大版九年级中考数学基础题 北师大版九年级数学题库篇三

九年级数学证明(二)单元测试

（时间：120分钟满分：100分）

一．选择题。(2分*16=32分)

1.已知等腰三角形的两边长分别为6cm,3cm，则该等腰三角的周长是（d）

a.9cmb.12cmc.12cm或15cmd 15cm

2.如图所示，∠aop =∠bop=15º，pc//oa, pd⊥oa,若pc=4，则pd等于（）

a.4b.3c.2d.13.如果直角三角形的三条边长为2，4，a，那么a的取值可以有（）

a.0个b.1个c.2个d.3个

4.在rt△abc中，已知∠c = 90º，∠a =30º，bd是∠b的平分线，ac＝18，则bd的值为（）

a.4.9b.9c.12d.1

55.一个三角形三边的长分别为15、20和25，那么它的最大边上的高是（）

a.12.5b.12c.15∕2*√2d.9

6.下列各组数分别为三角形的三边长：①2，3，4；②5，12，13；，2；④m2-n2，m2+n2，2 mn.其中是直角三角形的有（）

a.①②b.③④c.①③d.②④

7．如图所示，等腰三角形abc中，bc是底，bd ⊥ ac于d，则∠dbc等于（）

a.1/2*∠a，b.1/2*∠bc.1/2*(90º一∠b)d.以上结果都不对

8.已知△abc中．∠b＝∠c＝2∠a，那么△abc是（）

a.顶角为锐角的等腰三角形b.等腰直角三角形

c.顶角为钝角的等腰三角形d.以上答案都不对

9.如图所示，在△abc中，∠acb = 90º，cd是ab边上的高线，图中与∠a互余的角有（）

a.0个b.1个c.2个d.3个

10.已知δabc中．ab = ac．∠a=50º，p为δabc内一点，且∠pbc=∠pca，那么∠bpc等于（），a.100ºb.115ºc.130ºd.65º

11.若△abc的边bc的垂直平分线经过顶点a，与bc相交于点d,且ab＝2ad，则△abc中必有一个内角的度数为（）

a.45ºb.60ºc.90ºd.120º

12.如图所示，在△abc中，ab＝ac，ad是△abc的角平分线，de⊥ab，df⊥ac，垂足分别为e, f.则下列四个结论：

①ad上任意一点到点c，b的距离相等；、②ad上任意一点到边ab ．ac的距离相等：

③ bd＝cd ．ad⊥bc：④∠bde＝∠cdf.其中，正确的个数为（）

a.1个b.2个c.3个d.4个

13.逆命题“两直线平行，同旁内角互补”的原命题是（）

a.两直线平行，同位角相等b.两直线平行，内错角相等

c.同旁内角互补，两直线平行d.同位角相等，两直线平行

14.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）

a.锐角三角形b.钝角三角形c.直角三角形d.任意三角形

15.如图，△abc中，ab=ac，∠bac=120º，ad⊥bc于d，de⊥ab于e，若ab=20cm，则de的长为（）

a.10cmb.5cmc.10d.516.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么ab的值为（）．

2（a）13（b）19（c）25（d）169

第15题图

二、填空题(3分*8=24分)

1.如图所示，正六边形defghi的顶点都在边长为6cm的正三角形abc的边上，则这个正六边形的边长是_________cm.2.如果等腰三角形的一个底角是80º，那么顶角是__________度．

3.三角形的三个角的度数之比为1:2:3，最小边长是5cm，则最长边长为___________．

4.在方格纸上有一个δabc，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是__________三角形．

5.如图所示，已知∠abd＝∠c=90º，ad=12，ac=bc，∠dab = 30º，则bc＝___________.6.δabc中，∠c=90º，∠b=15º，ab的中垂线交bc于d，若bd=4cm，则ac=___________.7.若等边三角形的高为2cm，则其边长为_________.8.如图：已知ad=db=bc，∠c=250，则∠ade=＿＿＿＿＿度.三、作图题(5分+4分=9分)

1.已知：线段m和∠α如图所示．求作：等腰△abc，使∠bac＝∠α，高线ad＝m。

第16题图

2.如图，求作一点p使pc=pd，并且使点p到∠aob的两边的距离相等.四、解答题

1.如图，d是△abc中∠abc和∠acb的平分线交点，过d作与bc平行的直线，分别交ab、ac于e、f，求证：eb＋fc＝ef.（5分）

a

e d c

2.如图，已知ad为δabc的高，e为ac上一点，be交ad于f，且有bf=ac，fd=cd，求证：be⊥ac．（6分）

3.如图，在三角形abc中，ab=ac=9cm，∠bac=120º，ad是δabc的中线，ae是∠bad的平分线，df∥ab，交ae的延长线于f，求df的长。（6分）

4．如图，△def中，de=df，过ef上一点a作直线分别与de、df的延长线交于点b, c,且be=cf，求证：

ab＝ac．（8分）

证明：过b作bg∥cd交ef于g．

∴∠egb=∠efd

∵de＝df

∴_______________

∴_______________

∴be=bg

∵be=cf

∴bg=cf

∵bg∥cd

∴∠gba=∠acf

∠agb=∠afc

∴△agb≌△

afc

∴ab=ac

阅读后回答问题

(1)试在上述过程的横线上填写恰当的步骤．

(2)上述证明过程还有别的辅助线作法吗？若有，试说出一种__________________________________

(3)如图,若de＝df，ab=ac，则be、cf之间有何关系？___________________________________

(4)如图,若ab＝ac，be＝cf，df=8cm，则de的长为________________．

附加题（10分）（注：

1、2班学生必做）

5.如图(1)所示，bd, ce分别是△abc的外角平分线，过点a作af⊥bd, ag⊥ce,垂足分别为；f，g，连结fg，延长af, ag，与直线bc相交，易证fg＝1/2（ab＋bc+ac）

若（1）bd，ce分别是△abc的内角平分线（如图（2））；（2）bd为△abc的内角平分线，ce为△abc的外角平分线（如图(3)），则在图（2）、图(3)两种情况下，线段fg与δabc三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．

北师大版九年级中考数学基础题 北师大版九年级数学题库篇四

全等三角形——基础证明

1.把下列命题改写成“如果„„”“那么„„”的形式，指出它的题设和结论,并写出他们的逆命题.（1）同位角相等，两直线平行；

解：如果_______________________，那么_____________________;

题设为:________________________,结论为:________________________;

逆命题为:____________________________________________

（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）对顶角相等；(4）全等三角形的对应边相等；（5）平行四边形对应角相等；

2.三角形全等的判定方法有:_________,___________,_____________,___________,________;

3.全等三角形用符号______来表示;其对应边_______对应角_________;

4.如图,在△

b

abc中,abac,ad平分bac,求证: △abd△abd

(第4题图)(第5题图)(第6题图)

5.如图,已知abcd,acbcbd,判断图中的两个三角形是否全等,并说明理由;

6.如图, △abc是等腰三角形,△

ad,be分别是bac,abd和△bae全等吗?请说明你的理由.7.如图 在abcd中，求证abdcdb

b

b

(第7题图)(第8题图)

8.如图,deab,dfac,aeaf,你能找到一对全等的三角形吗?并证明你的结论.(第9题图)(第10题图)

9.已知

ab与cd相交于o，ad,cobo。求证：aodo

10.如图,在abc中,bd证:be

cd,beab,dfac,e,f为垂足,dedf,求

cf

11.如图,在直线l上找出一个点p,使得点p到aob的两边

b

第12题图)(第13题图)

12.如图,已知ae

ce,bdac,求证:abcdadbc

13.如图, 在△abc中,abc,acb的平分线交于d,ef经过d,且ef∥bc,求证:ef

becf

14.如图,e是aob平分线上一点,ec证:edcao,edbo,垂足分别为c,d,求

ecd

abd(第14题图)(第15题图)

15.如图,ab∥de,ac∥df,bc∥ef。求证:abcdef

(第16题图)(第17题图)16.如图,aedb,bcef,bc∥ef。求证:abcdef abdf,acde,becf,求证 17．已知.18.如图,acbd,bcad。求证:abca

第19题图)

19.如图12,bd。求证:abc20.如图ab,ce ∥da,ce交adc

ab于e。求证:d

e

(第20题图)(第21题图)

21.如图,在△abc中,ab求证:de

ac,d是bc的中点,deab,dfac,e,f是垂足,df

22.如图,bdacea,aead。求证:abac

b

(第23题图)(第24题图)23.如图,c

d,cede。求证:badabc

全等三角形证明题

1、如图1：ab=bc，ad=dc。求证：∠a=∠c。

2、如图2：已知ad=bc，ac=bd。求证：∠a=∠b。

b

a

d

c

ab

图

1a

b

dc

图

2图

3c

d

e3、如图3：d是ce的中点，ac=bd，ad=be。求证：△acd≌△bde。

4、如图4：d是bc的中点，ab=ac。求证：∠bad=∠cad。

e

a

c

a

b

d

bdc

图

45、如图5：ae=df，ec=fb，ab=cd。求证：△aec≌△dfb。

6、如图6：ad垂直平分bc。求证：ab=ac。

7、如图7：ad=cb，∠1=∠2。求证：△adc≌△cba。

a

图

5a

d

b

d

c

图6

e

f

bc

图7

a

bcd

图88、如图8：a、b、c、d在一条直线上，ae∥bf且ae=bf，ab=cd。求证：△aec≌△bfd。

9、如图9：a、b、c、d在一条直线上，ab=cd，de∥af且de=af。求证：be=cf。

10、如图10：a、b、c、d在一条直线上，af∥ce且af=ce，ac=bd。求证：bf=de。

a

b

c

d

f

e

a

b

图10

cd

图1111、如图11：∠acd=∠bdc，ac=bd。求证：∠a=∠b。

12、如图12：ab与cd交与点o，ad∥bc且ad=bc。求证：oa=ob，oc=od。

f

a

o

c

bd

e

a

bcd

图1

3图1413、如图13：a、b、c、d在一条直线上，af∥be，cf∥de，ab=cd。求证：af=be。

14、如图14：∠1=∠2，∠a=∠b，ae=be。求证：ce=de。

15、如图15：c、d、e、f在一条直线上，ac⊥cf，be⊥cf，ad∥bf且ad=bf。求证：ac=be。

ab

a

b

e

cd

cdef

f

图1616、如图16：a、b、c、d在一条直线上，fb⊥ad，ec⊥ad，af∥de且af=de。求证：ab=cd。

17、如图17：ac与de交与点b，b是de的中点，ae⊥ac，dc⊥ac。求证：b也是ac的中点。

18、如图18：a、b、c、d在一条直线上，ea⊥ad，fd⊥ad，be=cf，ac=bd。求证△abe≌△dcf。

ec

a

bf

d

ba

图19

图20

c

e

d19、如图19：a、b、c、d在一条直线上，fb⊥ad，ec⊥ad，ae=df，ab=dc。求证：fb=ec。

20、如图20：be⊥cd，be=de，bc=da。求证：ae=ce。

北师大版九年级中考数学基础题 北师大版九年级数学题库篇五

基础证明题

1．如图，点e，f在ab上，ad=bc，∠a=∠b，ae=bf．求证：△adf≌△bce．

2．如图，ac=dc，bc=ec，∠acd=∠bce．求证：∠a=∠d．

3．如图，点b、e、c、f在一条直线上，ab=df，ac=de，be=fc．（1）求证：△abc≌△dfe；

（2）连接af、bd，求证：四边形abdf是平行四边形．

4．如图，已知在四边形abcd中，点e在ad上，∠bce=∠acd=90°，∠bac=∠d，bc=ce．

（1）求证：ac=cd；（2）若ac=ae，求∠dec的度数．

5．已知△abc中，∠abc=∠acb，点d，e分别为边ab、ac的中点，求证：be=cd．

6．如图，∠a=∠b，ae=be，点d在ac边上，∠1=∠2，ae和bd相交于点o．（1）求证：△aec≌△bed；（2）若∠1=42°，求∠bde的度数．

7．已知：如图，在▱abcd中，延长ab至点e，延长cd至点f，使得be=df．连接ef，与对角线ac交于点o．求证：oe=of．

8．如图，四边形abcd是平行四边形，e，f是对角线bd上的两点，且bf=ed，求证：ae∥cf．

9．如图，分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd及等边△abe，已知：∠bac=30°，ef⊥ab，垂足为f，连接df．

（1）试说明ac=ef；（2）求证：四边形adfe是平行四边形．

10．如图，在正方形abcd中，e、f分别为边ad和cd上的点，且ae=cf，连接af、ce交于点g．求证：ag=cg．

11．如图，在矩形abcd，ad=ae，df⊥ae于点f．求证：ab=df．

12．如图，点e，f分别在菱形abcd的边dc，da上，且ce=af． 求证：∠abf=∠cbe．

13．如图，在菱形abcd中，过点d作de⊥ab于点e，作df⊥bc于点f，连接ef． 求证：（1）△ade≌△cdf；（2）∠bef=∠bfe．

14．如图，四边形abcd是正方形，e、f分别是ab、ad上的一点，且bf⊥ce，垂足为g，求证：af=be．

15．如图，四边形abcd是正方形，点e，f分别在ad，dc上，且ae=df． 求证：be=af．

16．已知，如图，正方形abcd中，e为bc边上一点，f为ba延长线上一点，且ce=af．连接de、df．求证：de=df．

17．如图，四边形abcd是正方形，△ebc是等边三角形．（1）求证：△abe≌△dce；（2）求∠aed的度数．

18．如图，矩形abcd中，ac与bd交于点o，be⊥ac，cf⊥bd，垂足分别为e，f． 求证：be=cf．

19．如图，在正方形abcd的外侧，作等边三角形ade，连接be，ce．（1）求证：be=ce．（2）求∠bec的度数．

20．如图，四边形abcd是正方形，点e是bc的中点，∠aef=90°，ef交正方形外角的平分线cf于f．求证：ae=ef．

21．如图，ab是⊙o的直径，c是⊙o上一点，d在ab的延长线上，且∠bcd=∠a．（1）求证：cd是⊙o的切线；

（2）若⊙o的半径为3，cd=4，求bd的长．

22．如图，ab是⊙o的直径，∠acd=20°，求∠bad的度数．

23．如图，在△abc中，ab=ac，以ab为直径作⊙o交bc于点d，过点d作⊙o的切线de交ac于点e，交ab延长线于点f．

（1）求证：de⊥ac；（2）若ab=10，ae=8，求bf的长．

24．如图，在rt△abc中，∠c=90°，以bc为直径的⊙o交ab于点d，切线de交ac于点e．

（1）求证：∠a=∠ade；（2）若ad=16，de=10，求bc的长．

25．如图，在△abc中，以bc为直径的⊙o交ac于点e，过点e作⊙o的切线且ef⊥ab于点f，延长ef交cb的延长线于点g，（1）求证： ∠abg=2∠c．

（2）若sin∠egc=，⊙o的半径是3，求af的长．

26．如图，ab是⊙o的直径，点c在ab的延长线上且直线ce是⊙o的切线，ae⊥cd，垂足为点e．

（1）求证：，ad平分∠cae

（2）若bc=3，cd=3，求弦ad的长．

27．如图，rt△abc中，∠c=90°，bc=3，点o在ab上，ob=2，以ob为半径的⊙o与ac相切于点d，交bc于点e，求弦be的长．

28．如图，ab为⊙o的直径，c为⊙o上一点，ad与过点c的切线互相垂直，垂足为点d，ad交⊙o于点e，连接ce，cb．（1）求证：ce=cb；（2）若ac=

229．如图，ab是⊙o的直径，cd与⊙o相切于点c，与ab的延长线交于d．（1）求证：△adc∽△cdb；

（2）若ac=2，ab=cd，求⊙o半径．

30．如图，ab与⊙o相切于点b，bc为⊙o的弦，oc⊥oa，oa与bc相交于点p．（1）求证：ap=ab；

（2）若ob=4，ab=3，求线段bp的长．，ce=，求ae的长．

31．如图，已知ab是⊙o的直径，点p为圆上一点，点c为ab延长线上一点，pa=pc，∠c=30°．

（1）求证：cp是⊙o的切线．

（2）若⊙o的直径为8，求阴影部分的面积．

32．如图，矩形abcd中，ab=4，ad=3，m是边cd上一点，将△adm沿直线am对折，得到△anm．

（1）当an平分∠mab时，求dm的长；（2）连接bn，当dm=1时，求△abn的面积；（3）当射线bn交线段cd于点f时，求df的最大值．

33．如图1，在正方形abcd中，p是对角线bd上的一点，点e在ad的延长线上，且pa=pe，pe交cd于f．

（1）证明：pc=pe；（2）求∠cpe的度数；

（3）如图2，把正方形abcd改为菱形abcd，其他条件不变，当∠abc=120°时，连接ce，试探究线段ap与线段ce的数量关系，并说明理由．

2018年04月04日十二中数学2的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共37小题）

1．如图，点e，f在ab上，ad=bc，∠a=∠b，ae=bf．求证：△adf≌△bce．

【解答】解：∵ae=bf，∴ae+ef=bf+ef，∴af=be，在△adf与△bce中，∴△adf≌△bce（sas）

2．如图，ac=dc，bc=ec，∠acd=∠bce．求证：∠a=∠d．

【解答】证明：∵∠acd=∠bce，∴∠acb=∠dce，在△abc和△dec中，∴△abc≌△dec（sas），∴∠a=∠d．，3．如图，点b、e、c、f在一条直线上，ab=df，ac=de，be=fc．（1）求证：△abc≌△dfe；

（2）连接af、bd，求证：四边形abdf是平行四边形．

【解答】证明：（1）∵be=fc，∴bc=ef，在△abc和△dfe中，∴△abc≌△dfe（sss）；（2）解：如图所示： 由（1）知△abc≌△dfe，∴∠abc=∠dfe，∴ab∥df，∵ab=df，∴四边形abdf是平行四边形．

4．如图，已知在四边形abcd中，点e在ad上，∠bce=∠acd=90°，∠bac=∠d，bc=ce．（1）求证：ac=cd；，（2）若ac=ae，求∠dec的度数．

【解答】解：∵∠bce=∠acd=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△abc和△dec中，∴△abc≌△dec（aas），∴ac=cd；

（2）∵∠acd=90°，ac=cd，∴∠2=∠d=45°，∵ae=ac，∴∠4=∠6=67.5°，∴∠dec=180°﹣∠6=112.5°．，5．已知△abc中，∠abc=∠acb，点d，e分别为边ab、ac的中点，求证：be=cd．

【解答】证明：∵∠abc=∠acb，∴ab=ac，∵点d、e分别是ab、ac的中点． ∴ad=ae，在△abe与△acd中，∴△abe≌△acd，∴be=cd．

6．如图，∠a=∠b，ae=be，点d在ac边上，∠1=∠2，ae和bd相交于点o．（1）求证：△aec≌△bed；（2）若∠1=42°，求∠bde的度数．

【解答】解：（1）证明：∵ae和bd相交于点o，∴∠aod=∠boe． 在△aod和△boe中，∠a=∠b，∴∠beo=∠2．

又∵∠1=∠2，∴∠1=∠beo，∴∠aec=∠bed． 在△aec和△bed中，∴△aec≌△bed（asa）．（2）∵△aec≌△bed，∴ec=ed，∠c=∠bde． 在△edc中，∵ec=ed，∠1=42°，∴∠c=∠edc=69°，∴∠bde=∠c=69°．

7．已知：如图，在▱abcd中，延长ab至点e，延长cd至点f，使得be=df．连接ef，与对角线ac交于点o． 求证：oe=of．

【解答】证明：∵四边形abcd是平行四边形，∴ab∥cd，ab=cd，∵be=df，∴ab+be=cd+df，即ae=cf，∵ab∥cd，∴ae∥cf，∴∠e=∠f，∠oae=∠ocf，在△aoe和△cof中，∴△aoe≌△cof（asa），∴oe=of．

8．如图，在▱abcd中，be⊥ac，垂足e在ca的延长线上，df⊥ac，垂足f在ac的延长线上，求证：ae=cf．，【解答】证明：∵四边形abcd是平行四边形，∴ab∥cd，ab=cd，∴∠bac=∠dca，∴180°﹣∠bac=180°﹣∠dca，∴∠eab=∠fcd，∵be⊥ac，df⊥ac，∴∠bea=∠dfc=90°，在△bea和△dfc中，∴△bea≌△dfc（aas），∴ae=cf．

9．如图，四边形abcd是平行四边形，e，f是对角线bd上的两点，且bf=ed，求证：ae∥cf．，【解答】证明：连接ac，交bd于点o，如图所示： ∵四边形abcd是平行四边形，∴oa=oc，ob=od，∵bf=ed，∴oe=of，∵oa=oc，∴四边形aecf是平行四边形，∴ae∥cf．

10．如图，分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd及等边△abe，已知：∠bac=30°，ef⊥ab，垂足为f，连接df．（1）试说明ac=ef；

（2）求证：四边形adfe是平行四边形．

【解答】证明：（1）∵rt△abc中，∠bac=30°，∴ab=2bc，又∵△abe是等边三角形，ef⊥ab，∴ab=2af ∴af=bc，在rt△afe和rt△bca中，∴rt△afe≌rt△bca（hl），∴ac=ef；

（2）∵△acd是等边三角形，∴∠dac=60°，ac=ad，∴∠dab=∠dac+∠bac=90° 又∵ef⊥ab，∴ef∥ad，∵ac=ef，ac=ad，∴ef=ad，∴四边形adfe是平行四边形．

11．如图，在正方形abcd中，e、f分别为边ad和cd上的点，且ae=cf，连接af、ce交于点g．求证：ag=cg．

【解答】证明：∵四边形abcd是正方形，∴∠adf=cde=90°，ad=cd．

∵ae=cf，∴de=df，在△adf和△cde中∴△adf≌△cde（sas），∴∠daf=∠dce，在△age和△cgf中，∴△age≌△cgf（aas），∴ag=cg．

12．如图，在矩形abcd，ad=ae，df⊥ae于点f．求证：ab=df．，【解答】证明：∵四边形abcd是矩形，∴ad∥bc，∠b=90°，∴∠aeb=∠dae，∵df⊥ae，∴∠afd=∠b=90°，在△abe和△dfa中 ∵

∴△abe≌△dfa，∴ab=df．

13．如图，点e，f分别在菱形abcd的边dc，da上，且ce=af． 求证：∠abf=∠cbe．

【解答】证明：∵四边形abcd是菱形，∴ab=bc，∠a=∠c，∵在△abf和△cbe中，∴△abf≌△cbe（sas），∴∠abf=∠cbe．

14．如图，在菱形abcd中，过点d作de⊥ab于点e，作df⊥bc于点f，连接ef． 求证：（1）△ade≌△cdf；（2）∠bef=∠bfe．，【解答】证明：（1）∵四边形abcd是菱形，∴ad=cd，∠a=∠c，∵de⊥ba，df⊥cb，∴∠aed=∠cfd=90°，在△ade和△cdf，∵，∴△ade≌△cdf；

（2）∵四边形abcd是菱形，∴ab=cb，∵△ade≌△cdf，∴ae=cf，∴be=bf，∴∠bef=∠bfe．

15．如图，四边形abcd是正方形，e、f分别是ab、ad上的一点，且bf⊥ce，垂足为g，求证：af=be．

【解答】证明：∵四边形abcd是正方形，∴ab=bc，∠a=∠cbe=90°，∵bf⊥ce，∴∠bce+∠cbg=90°，∵∠abf+∠cbg=90°，∴∠bce=∠abf，在△bce和△abf中，∴△bce≌△abf（asa），∴be=af．

16．如图，四边形abcd是正方形，点e，f分别在ad，dc上，且ae=df． 求证：be=af．

【解答】证明：∵四边形abcd是正方形，∴ab=da，∠bae=∠adf=90°，在△bae和△adf中，∴△bae≌△adf（sas），∴be=af．

17．如图，四边形abcd是正方形，△ebc是等边三角形．（1）求证：△abe≌△dce；（2）求∠aed的度数．

【解答】（1）证明：∵四边形abcd是正方形，△abc是等边三角形，∴ba=bc=cd=be=ce，∠abc=∠bcd=90°，∠ebc=∠ecb=60°，∴∠abe=∠ecd=30°，在△abe和△dce中，∴△abe≌△dce（sas）．

（2）∵ba=be，∠abe=30°，∴∠bae=（180°﹣30°）=75°，∵∠bad=90°，∴∠ead=90°﹣75°=15°，同理可得∠ade=15°，∴∠aed=180°﹣15°﹣15°=150°．

18．如图，四边形abcd是正方形，点e是bc的中点，∠aef=90°，ef交正方形外角的平分线cf于f．求证：ae=ef．

【解答】证明：取ab的中点h，连接eh； ∵∠aef=90°，∴∠2+∠aeb=90°，∵四边形abcd是正方形，∴∠1+∠aeb=90°，∴∠1=∠2，∵e是bc的中点，h是ab的中点，∴bh=be，ah=ce，∴∠bhe=45°，∵cf是∠dcg的角平分线，∴∠fcg=45°，∴∠ahe=∠ecf=135°，在△ahe和△ecf中，∴△ahe≌△ecf（asa），∴ae=ef．

19．已知，如图，正方形abcd中，e为bc边上一点，f为ba延长线上一点，且ce=af．连接de、df．求证：de=df．

【解答】证明：∵四边形abcd是正方形，∴ad=cd，∠dab=∠c=90°，∴∠fad=180°﹣∠dab=90°． 在△dce和△daf中，∴△dce≌△daf（sas），∴de=df．

20．如图，矩形abcd中，ac与bd交于点o，be⊥ac，cf⊥bd，垂足分别为e，f． 求证：be=cf．

【解答】证明：∵四边形abcd为矩形，∴ac=bd，则bo=co． ∵be⊥ac于e，cf⊥bd于f，∴∠beo=∠cfo=90°． 又∵∠boe=∠cof，∴△boe≌△cof． ∴be=cf．

21．如图，在正方形abcd的外侧，作等边三角形ade，连接be，ce．（1）求证：be=ce．（2）求∠bec的度数．

【解答】（1）证明：∵四边形abcd为正方形

∴ab=ad=cd，∠bad=∠adc=90° ∵三角形ade为正三角形 ∴ae=ad=de，∠ead=∠eda=60° ∴∠bae=∠cde=150° 在△bae和△cde中∴△bae≌△cde ∴be=ce；

（2）∵ab=ad，ad=ae，∴ab=ae，∴∠abe=∠aeb，又∵∠bae=150°，∴∠abe=∠aeb=15°，同理：∠ced=15°

∴∠bec=60°﹣15°×2=30°．

22．如图，ab是⊙o的直径，c是⊙o上一点，d在ab的延长线上，且∠bcd=∠a．（1）求证：cd是⊙o的切线；

（2）若⊙o的半径为3，cd=4，求bd的长．，【解答】（1）证明：如图，连接oc． ∵ab是⊙o的直径，c是⊙o上一点，∴∠acb=90°，即∠aco+∠ocb=90°． ∵oa=oc，∠bcd=∠a，∴∠aco=∠a=∠bcd，∴∠bcd+∠ocb=90°，即∠ocd=90°，∴cd是⊙o的切线．

（2）解：在rt△ocd中，∠ocd=90°，oc=3，cd=4，∴od==5，∴bd=od﹣ob=5﹣3=2．

23．如图，ab是⊙o的直径，∠acd=25°，求∠bad的度数．

【解答】解：∵ab为⊙o直径 ∴∠adb=90°

∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠acd=25° ∴∠b=25°

∴∠bad=90°﹣∠b=65°．

24．如图，在△abc中，ab=ac，以ab为直径作⊙o交bc于点d，过点d作⊙o的切线de交ac于点e，交ab延长线于点f．（1）求证：de⊥ac；

（2）若ab=10，ae=8，求bf的长．

【解答】解：（1）连接od、ad，∵de切⊙o于点d，∴od⊥de，∵ab是直径，∴∠adb=90°，∵ab=ac，∴d是bc的中点，又∵o是ab中点，∴od∥ac，∴de⊥ac；

（2）∵ab=10，∴ob=od=5，由（1）得od∥ac，∴△odf∽△aef，∴==，设bf=x，ae=8，∴=解得：x=经检验x=∴bf=

25．如图，在△abc中，以bc为直径的⊙o交ac于点e，过点e作ef⊥ab于点f，延长ef交cb的延长线于点g，且∠abg=2∠c．（1）求证：ef是⊙o的切线；

（2）若sin∠egc=，⊙o的半径是3，求af的长． ．，是原分式方程的根，且符合题意，【解答】解：（1）如图，连接eo，则oe=oc，∴∠eog=2∠c，∵∠abg=2∠c，∴∠eog=∠abg，∴ab∥eo，∵ef⊥ab，∴ef⊥oe，又∵oe是⊙o的半径，∴ef是⊙o的切线；

（2）∵∠abg=2∠c，∠abg=∠c+∠a，∴∠a=∠c，∴ba=bc=6，在rt△oeg中，∵sin∠ego=∴og===5，∴bg=og﹣ob=2，在rt△fgb中，∵sin∠ego=∴bf=bgsin∠ego=2×=，则af=ab﹣bf=6﹣=

26．如图，在rt△abc中，∠c=90°，以bc为直径的⊙o交ab于点d，切线de交ac于点e．

（1）求证：∠a=∠ade；

（2）若ad=16，de=10，求bc的长． ．，【解答】（1）证明：连接od，∵de是切线，∴∠ode=90°，∴∠ade+∠bdo=90°，∵∠acb=90°，∴∠a+∠b=90°，∵od=ob，∴∠b=∠bdo，∴∠ade=∠a．

（2）连接cd． ∵∠ade=∠a，∴ae=de，∵bc是⊙o的直径，∠acb=90°，∴ec是⊙o的切线，∴ed=ec，∴ae=ec，∵de=10，∴ac=2de=20，在rt△adc中，dc==12，设bd=x，在rt△bdc中，bc2=x2+122，在rt△abc中，bc2=（x+16）2﹣202，∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，∴bc==15．

27．如图，ab是⊙o的直径，点c在ab的延长线上，ad平分∠cae交⊙o于点d，且ae⊥cd，垂足为点e．

（1）求证：直线ce是⊙o的切线．（2）若bc=3，cd=3，求弦ad的长．

【解答】（1）证明：连接od，如图，∵ad平分∠eac，∴∠1=∠3，∵oa=od，∴∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴od∥ae，∵ae⊥dc，∴od⊥ce，∴ce是⊙o的切线；

（2）连接bd． ∵∠cdo=∠adb=90°，∴∠2=∠cdb=∠1，∵∠c=∠c，∴△cdb∽△cad，∴==，∴cd2=cb•ca，∴（3）2=3ca，∴ca=6，∴ab=ca﹣bc=3，==，设bd=

k，ad=2k，在rt△adb中，2k2+4k2=9，∴k=∴ad=，．

28．如图，已知ab是⊙o的直径，cd与⊙o相切于c，be∥co．（1）求证：bc是∠abe的平分线；

（2）若dc=8，⊙o的半径oa=6，求ce的长．

【解答】（1）证明：∵de是切线，∴oc⊥de，∵be∥co，∴∠ocb=∠cbe，∵oc=ob，∴∠ocb=∠obc，∴∠cbe=∠cbo，∴bc平分∠abe．

（2）在rt△cdo中，∵dc=8，oc=0a=6，∴od=∵oc∥be，∴∴==，=10，∴ec=4.8．

29．如图，rt△abc中，∠c=90°，bc=3，点o在ab上，ob=2，以ob为半径的⊙o与ac相切于点d，交bc于点e，求弦be的长．

【解答】解：连接od，作of⊥be于点f． ∴bf=be，∵ac是圆的切线，∴od⊥ac，∴∠odc=∠c=∠ofc=90°，∴四边形odcf是矩形，∵od=ob=fc=2，bc=3，∴bf=bc﹣fc=bc﹣od=3﹣2=1，∴be=2bf=2．

30．如图，已知：ab是⊙o的直径，点c在⊙o上，cd是⊙o的切线，ad⊥cd于点d，e是ab延长线上一点，ce交⊙o于点f，连接oc、ac．（1）求证：ac平分∠dao．（2）若∠dao=105°，∠e=30° ①求∠oce的度数； ②若⊙o的半径为2，求线段ef的长．

【解答】解：（1）∵cd是⊙o的切线，∴oc⊥cd，∵ad⊥cd，∴ad∥oc，∴∠dac=∠oca，∵oc=oa，∴∠oca=∠oac，∴∠oac=∠dac，∴ac平分∠dao；

（2）①∵ad∥oc，∴∠eoc=∠dao=105°，∵∠e=30°，∴∠oce=45°； ②作og⊥ce于点g，则cg=fg=og，∵oc=2，∠oce=45°，∴cg=og=2，∴fg=2，在rt△oge中，∠e=30°，∴ge=2∴

31．如图，ab为⊙o的直径，c为⊙o上一点，ad与过点c的切线互相垂直，垂足为点d，ad交⊙o于点e，连接ce，cb．（1）求证：ce=cb；（2）若ac=2，ce=，求ae的长．，．

【解答】（1）证明：连接oc，∵cd是⊙o的切线，∴oc⊥cd． ∵ad⊥cd，∴oc∥ad，∴∠1=∠3． 又oa=oc，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴ce=cb；

（2）解：∵ab是直径，∴∠acb=90°，∵ac=2，cb=ce=，∴ab===5．

∵∠adc=∠acb=90°，∠1=∠2，∴△adc∽△acb，∴==，即==，∴ad=4，dc=2． 在直角△dce中，de=∴ae=ad﹣ed=4﹣1=3．

=1，32．如图，ab是⊙o的直径，cd与⊙o相切于点c，与ab的延长线交于d．（1）求证：△adc∽△cdb；

（2）若ac=2，ab=cd，求⊙o半径．

【解答】（1）证明：如图，连接co，∵cd与⊙o相切于点c，∴∠ocd=90°，∵ab是圆o的直径，∴∠acb=90°，∴∠aco=∠bcd，∵∠aco=∠cad，∴∠cad=∠bcd，在△adc和△cdb中，∴△adc∽△cdb．

（2）解：设cd为x，则ab=x，oc=ob=x，∵∠ocd=90°，∴od===x，∴bd=od﹣ob=x﹣x=x，由（1）知，△adc∽△cdb，∴即=，解得cb=1，∴ab=∴⊙o半径是

33．如图，已知ab是⊙o的直径，过o点作op⊥ab，交弦ac于点d，交⊙o于点e，且使∠pca=∠abc． =．，（1）求证：pc是⊙o的切线；（2）若∠p=60°，pc=2，求pe的长．

【解答】解：（1）连接oc，∵ab是⊙o的直径，∴∠acb=90°，∴∠bco+∠aco=90°，∵oc=ob，∴∠b=∠bco，∵∠pca=∠abc，∴∠bco=∠acp，∴∠acp+∠oca=90°，∴∠ocp=90°，∴pc是⊙o的切线；

（2）∵∠p=60°，pc=2，∠pco=90°，∴oc=2，op=2pc=4，． ∴pe=op﹣oe=op﹣oc=4﹣2

34．如图，ab与⊙o相切于点b，bc为⊙o的弦，oc⊥oa，oa与bc相交于点p．（1）求证：ap=ab；

（2）若ob=4，ab=3，求线段bp的长．

【解答】（1）证明：∵oc=ob，∴∠ocb=∠obc，∵ab是⊙o的切线，∴ob⊥ab，∴∠oba=90°，∴∠abp+∠obc=90°，∵oc⊥ao，∴∠aoc=90°，∴∠ocb+∠cpo=90°，∵∠apb=∠cpo，∴∠apb=∠abp，∴ap=ab．

（2）解：作oh⊥bc于h． 在rt△oab中，∵ob=4，ab=3，∴oa=∵ap=ab=3，∴po=2． =5，在rt△poc中，pc=∵•pc•oh=•oc•op，∴oh=∴ch=∵oh⊥bc，∴ch=bh，∴bc=2ch=∴pb=bc﹣pc=，﹣2===，=2，．

35．如图，已知ab是⊙o的直径，点p为圆上一点，点c为ab延长线上一点，pa=pc，∠c=30°．

（1）求证：cp是⊙o的切线．

（2）若⊙o的直径为8，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接op，如图所示： ∵pa=pc，∠c=30°，∴∠a=∠c=30°，∴∠apc=120°，∵oa=op，∴∠opa=∠a=30°，∴∠opc=120°﹣30°=90°，即op⊥cp，∴cp是⊙o的切线．

（2）解：∵ab是⊙o的直径，∴∠apb=90°，∴∠obp=90°﹣∠a=60°，∵op=ob=4，∴△obp是等边三角形，∴∠poc=60°，∵op⊥cp，∴∠c=30°，∴oc=2op=2ob=8，∴pc===

4，﹣××4×4

=

﹣∴阴影部分的面积=扇形obp的面积﹣△obp的面积=4．

36．如图，矩形abcd中，ab=4，ad=3，m是边cd上一点，将△adm沿直线am对折，得到△anm．

（1）当an平分∠mab时，求dm的长；

（2）连接bn，当dm=1时，求△abn的面积；（3）当射线bn交线段cd于点f时，求df的最大值．

【解答】解：（1）由折叠性质得：△anm≌△adm，∴∠man=∠dam，∵an平分∠mab，∠man=∠nab，∴∠dam=∠man=∠nab，∵四边形abcd是矩形，∴∠dab=90°，∴∠dam=30°，∴dm=ad•tan∠dam=3×tan30°=3×

=

；

（2）延长mn交ab延长线于点q，如图1所示： ∵四边形abcd是矩形，∴ab∥dc，∴∠dma=∠maq，由折叠性质得：△anm≌△adm，∴∠dma=∠amq，an=ad=3，mn=md=1，∴∠maq=∠amq，∴mq=aq，设nq=x，则aq=mq=1+x，∵∠anm=90°，∴∠anq=90°，在rt△anq中，由勾股定理得：aq2=an2+nq2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴nq=4，aq=5，∵ab=4，aq=5，∴s△nab=s△naq=×an•nq=××3×4=（3）过点a作ah⊥bf于点h，如图2所示： ∵四边形abcd是矩形，∴ab∥dc，∴∠hba=∠bfc，∵∠ahb=∠bcf=90°，∴△abh∽△bfc，∴=，；

∵ah≤an=3，ab=4，∴当点n、h重合（即ah=an）时，ah最大，bh最小，cf最小，df最大，此时点m、f重合，b、n、m三点共线，如图3所示： 由折叠性质得：ad=ah，∵ad=bc，∴ah=bc，在△abh和△bfc中，∴△abh≌△bfc（aas），∴cf=bh，由勾股定理得：bh=∴cf=，． =

=，∴df的最大值=dc﹣cf=4﹣

37．如图1，在正方形abcd中，p是对角线bd上的一点，点e在ad的延长线上，且pa=pe，pe交cd于f．（1）证明：pc=pe；（2）求∠cpe的度数；

（3）如图2，把正方形abcd改为菱形abcd，其他条件不变，当∠abc=120°时，连接ce，试探究线段ap与线段ce的数量关系，并说明理由．

【解答】（1）证明：在正方形abcd中，ab=bc，∠abp=∠cbp=45°，在△abp和△cbp中，∴△abp≌△cbp（sas），∴pa=pc，∵pa=pe，∴pc=pe；

（2）由（1）知，△abp≌△cbp，∴∠bap=∠bcp，∴∠dap=∠dcp，∵pa=pe，∴∠dap=∠e，∴∠dcp=∠e，∵∠cfp=∠efd（对顶角相等），∴180°﹣∠pfc﹣∠pcf=180°﹣∠dfe﹣∠e，即∠cpf=∠edf=90°；

（3）在菱形abcd中，ab=bc，∠abp=∠cbp=60°，在△abp和△cbp中，∴△abp≌△cbp（sas），∴pa=pc，∠bap=∠bcp，∵pa=pe，∴pc=pe，∴∠dap=∠dcp，∵pa=pc，∴∠dap=∠aep，∴∠dcp=∠aep

∵∠cfp=∠efd（对顶角相等），∴180°﹣∠pfc﹣∠pcf=180°﹣∠dfe﹣∠aep，即∠cpf=∠edf=180°﹣∠adc=180°﹣120°=60°，∴△epc是等边三角形，∴pc=ce，∴ap=ce．