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导数概念教学设计及反思 导数几何意义教学设计篇一

本章教学目标与要求

理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

本章教学重点与难点

1．导数概念及其求导法则； 2．隐函数的导数； 3．复合函数求导；

4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算

§2.1 导数的概念

教学目的与要求

1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.教学重点与难点

1.函数导数的概念、基本初等函数的导数

2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数

一、引例

导数的思想最初是由法国数学家费马(fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(newton)和德国数学家莱布尼茨(leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．

下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．

1．瞬时速度

思考：已知一质点的运动规律为ss(t)，t0为某一确定时刻，求质点在t0时刻的速度。在中学里我们学过平均速度

s，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致t情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”.设质点运

动的路程是时间的函数 s(t)，则质点在 t0到 t0t 这段时间内的平均速度为

vs(t0t)s(t0)

t可以看出它是质点在时刻t0速度的一个近似值，t越小，平均速度 v 与 t0时刻的瞬时速度越接近.故当t0时，平均速度v就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在t0时刻的瞬时速度，即物体在 t0时刻的瞬时速度为

vlimvlimt0_s(t0t)s(t0)（1）

t0t思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？ 因为自由落体运动的运动方程为：

s12gt，2按照上面的公式，可知自由落体运动在t0时刻的瞬时速度为

112g(t0t)2gt0s(tt)s(t0)12v(t0)lim0lim2lim(gt0gt)gt0。t0t0t00tt2这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.2．切线的斜率

思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？

引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.（1）切线的概念 曲线c上一点m的切线的是指：在m外另取c上的一点n，作割线mn，当点n沿曲线c趋向点m时，如果割线mn绕点m转动而趋向极限位置mt，直线mt就叫做曲线c在点m处的切线。简单说：切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长mn趋于0，nmt也趋向于0.（如图所示）

（2）求切线的斜率

设曲线c为函数yf(x)的图形，m(x0,y0)c，则y0f(x0)，点n(x0x,y0y)为曲线c上一动点，割线mn的斜率为：

yf(x0x)f(x0) xx根据切线的定义可知，当点n沿曲线c趋于m时，即x0，割线的斜率趋向于切线的tan斜率。也就是说，如果x0时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k，即

ktanlimf(x0x)f(x0)ylim

（2）

x0xx0x3.边际成本

设某产品的成本c是产量x的函数cc(x)，试确定产量为x0个单位时的边际成本。用前两例类似的方法处理得：

cc(x0x)c(x0)表示由产量x0变到x0x时的平均成本，如果极限 xxcc(x0x)c(x0)lim

（3）

x0xx存在，则此极限就表示产量为x0个单位时成本的变化率或边际成本。

思考：上述三个问题的结果有没有共同点？

上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如

limx0f(x0x)f(x0）

（4）

x的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念.二、导数的定义

1．导数的概念

定义

设函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量x（点x0x仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量yf(x0x)f(x0)，如果极限

f(x0x)f(x0)ylim

x0xx0xlim存在，则这个极限叫做函数f(x)在点x0处的导数，记为

yxx0,f(x0),dydxxx0或df(x)dxxx0

当函数f(x)在点x0处的导数存在时，就说函数f(x)在点x0处可导，否则就说f(x)在点x0处不可导.特别地，当x0时，点x0处的导数为无穷大.关于导数有几点说明：

（1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有

y，为了方便起见，有时就说yf(x)在xf(x0)limh0f(x0h)f(x0)

hf(x0)limxx0f(x)f(x0)

xx0yf(x0x)f(x0)反映是自变量 x 从x0改变到x0x时，函数f(x)的xxy平均变化速度，称为函数f(x)的平均变化率；而导数f(x0)lim反映的是函数f(x)x0x（2）在点x0处的变化速度，称为函数f(x)在点x0处的变化率。

2．导函数的概念

上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数yf(x)在开区间i的每一点都可导，就称函数yf(x)在开区间i内可导，这时，xi，都对应f(x)的一个确定的导数值，就构成一个新的函数，这个函数叫做yf(x)的导函数，记作：

y,f(x),即，导函数的定义式为：

dydf(x)或。dxdxylimx0f(xx)f(x)f(xh)f(x).或f(x)limh0xh在这两个式子中，x可以取区间i的任意数，然而在极限过程中，x是常量，x或h才是变量；并且导数f(x0)恰是导函数f(x)在点x0处的函数值.3.单侧导数的概念

我们知道在极限有左、右极限之分，而导数实质是一个“比值”的极限。因此，根据左右极限的定义，不难得出函数左右导数的概念。

定义

极限limx0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)和lim分别叫做函数x0xxf(x)在点x0处的左导数和右导数，记为f(x0)和f(x0).如同左、右极限与极限之间的关系，显然：

函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数f(x0)和右导数f(x0)都存在并且相等.(a)和f(b)都存在，就说f(x)在还应说明：如果f(x)在开区间(a,b)内可导，且f闭区间[a,b]上可导.三、按定义求导数举例

1．根据定义求函数的导数的步骤

根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为： ① 求增量：yf(xx)f(x)

yf(xx)f(x) xxy③ 求极限：ylim

x0x2．运用举例 ② 算比值：例

1求yc的导数（c为常数）.解 求增量ycc0 作比值

取极限

limy0 xy0

x0x所以

(c)0

即常量的导数等于零.例

2求函数yxn(xn)的导数.解 y(xx)xnxnnn1xn(n1)n2x(x)2(x)n，2!yn(n1)n2nxn1xx(x)n1，x2!yylimnxn1，x0x即

(xn)nxn1

注意：以后会证明当指数为任意实数时，公式仍成立，即

(x)x1.例如：(x)(r)

12x1，(x)1x2

例3 求f(x)sinx的导数.解

(sinx)limh0f(xh)f(x)sin(xh)sinxlim h0hhhlimcos(x)h0h22即

sinh2cosx

(sinx)cosx.用类似方法，可求得

(cosx)sinx.例4 求ylogax(a0,a1)(1)loga(xh)logaxx 解 ylimlimh0h0hh

hloga(1)x11hxlimlimloga(1)h

h0hxxh0xx所以 1logae x(logax)1logae x特别地，当ae时，有

(lnx)1 x

四、导数的几何意义

由前面对切线问题的讨论及导数的定义可知：函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点m（x0,f(x0)）处的切线的斜率。因此，曲线yf(x)在点m（x0,f(x0)）处的切线方程为

yy0f(x0)(xx0).思考：曲线某一点处切线和法线有什么关系？能否根据点m处切线的斜率求点m处的法线方程？ 根据法线的定义：过点m（x0,f(x0)）且垂直于曲线yf(x)在该点处的切线的直线叫做曲线yf(x)在点m（x0,f(x0)）处的法线.如果f(x0)0，根据解析几何的知识可知，切线与法线的斜率互为倒数，则可得点m处法线方程为：

yy0例5 求双曲线y程.1(xx0).f(x0)11在点(,2)处的切线的斜率，并写出该点处的切线方程和法线方

2x解

根据导数的几何意义知，所求的切线的斜率为：

ky所以切线的方程为

121()x121x2124

1y24(x)，2即 4xy40.法线的方程为

y211(x)，42即

2x8y150.五、可导与连续的关系

定理 函数在某点处可导，则一定在该点连续.证明：因为如果函数yf(x)在点x处可导，即

yf(x0)x0x，lim从而有

yf(x0)x，其中，0(x0)，于是

yf(x0)xx，因而，当x0时，有y0。这说明函数f(x)在点x处连续。

思考：定理的逆命题成立吗？

例6 讨论函数f(x)x在x0处是否可导。解

因f(0)limf(0x)f(0)xlim1，h0h0xxf(0x)f(0)xf(0)limlim1，h0h0xx即f(x)在点x0处的左导数、右导数都存在但不相等，从而f(x)x在x0处不可导。

注意：通过例7可知，函数f(x)x在原点（0,0）处虽然连续，但该点却不可导，所以函数在某点处可导，则一定连续，反之不一定成立.本节小结

1.导数的表达式：limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x2.基本初等函数的导数：

(c)0(x)nx(logax)nn1(sinx)cosx(cosx)sinx

11logae(lnx)(ax)axlna(ex)ex xx3.可导与连续的关系：函数在某点处可导，则一定在该点连续，反之不一定成立。4.导数的几何意义：函数某一点处的导数值，在几何表示为曲线在此点的切线的斜率。

导数概念教学设计及反思 导数几何意义教学设计篇二

【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时）

【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。

【教学重点】：在一点处导数的定义。【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。【教学过程】：

一）导数的思想的历史回顾

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（newton）和德国数学家莱布尼兹（leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

二）两个来自物理学与几何学的问题的解决

问题1（以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：s(t)12gt，t[0,t]，求：落体在t0时刻（t0[0,t]）的瞬时速度。2t0t

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

v若tt0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)s(t0)

tt0vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2（以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线yf(x)上点m(x0,y0)，求：m点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线c及曲线c上的一点m，如图，在m外c上另外取一点n，作割线mn，当n沿着c趋近点m时，如果割线mn绕点m旋转而趋于极

1 限位置mt，直线mt就称为曲线c在点m处的切线。

问题解决：取在c上m附近一点n(x,y)，于是割线pq的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线mn的倾角）xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktanf(x)fx(0)（为割线mt的倾角）limxx0xx0为点m处的切线的斜率。

上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问 题的解决都归结到求形如

limxx0f(x)f(x0）

（1）

xx0的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。

三）导数的定义

定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限

xx0limf(x)f(x0）

xx0存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f(x0)。即

f(x0)limxx0f(x)f(x0）

（2）

xx0也可记作yxx，odydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果 函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：

2 f(x0)limxx0yf(x)f(x0）

（3）

f(x0)limx0xxx0f(x0)limx0f(x0x)f(x0）

（4）

xf(x0)lim四）

f(x0)f(x0）0

（5）

利用导数定义求导数的几个例子

例1 求f(x)x2在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。解 由定义

yf(1x)f(1)(1x)21f(1)limlimlim

x0xx0x0xx2xx2limlim(2x)2 x0x0x于是曲线在(1,1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1。

例2 设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

(x)

f(x)f(x)证

f(x)f 又f(0)lim

limx0x0f(0x)f(0)f(x)f(0)lim x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xxf(0)0

注意：f(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。此题的0为x。

1xsin,x0x例3 讨论函数f(x) 在x0处的连续性，可导性。0,x0解

首先讨论f(x)在x0处的连续性：limf(x)limxsinx0x010f(0)x即f(x)在x0处连续。

再讨论f(x)在x0处的可导性：

3 x0limf(0x)f(0)limx0x

xsin101x

此极限不存在 limsinx0xx即f(x)在x0处不可导。

问

怎样将此题的f(x)在x0的表达式稍作修改，变为f(x)在x0处可导？

1n1xsinx,0x答 f(x) n1,2,3，即可。

0,x0四）可导与连续的关系

由上题可知；在一点处连续不一定可导。反之，若设f(x)在点x0可导，则

yf(x0)

x0xlim由极限与无穷小的关系得：

yf(x0)xo(x)，所以当x0，有y0。即f在点x0连续。

故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。

五）单侧导数的概念

例4 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。证明 limx0f(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1，x0xx0x0xx0x0limx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim（0x）x0xx存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f(x0)。

左导数

f(x0)ylim。x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f(x0)存在f(x0)，f(x0)都存在，且f(x0)=f(x0)。

4 例5 设f(x)解 由于 1cosx, x0，讨论f(x)在x0处的可导性。

x0x , f(0)limx0f(x0x)f(x0)1cosxlim0 x0xxf(x0x)f(x0)xlim1 x0xxf(0)limx0从而f(0)f(0)，故f(x)在x0处不可导。

六）小结: 本课时的主要内容要求：

① 深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；

② 注意f(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。

0③ 明确其实际背景并给出物理、几何解释； ④ 能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；

⑤ 明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。

导数概念教学设计及反思 导数几何意义教学设计篇三

《导数的概念》教学设计

1.教学目标

（1）知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数.（2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力．

（3）情感、态度与价值观目标：

通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．

2.教学重、难点

重点：导数的定义和利用定义如何计算导数． 难点：对导数概念的理解．

3.教学方法

1.教法：引导式教学法

在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成．

2.教学手段：多媒体辅助教学

4.教学过程

（一）情境引入

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（newton）和德国数学家莱布尼兹（leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

17世纪数学家遇到的三类问题：

一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。

cbcbaa

图 1 光在平面上的反射 图 2 光在球面上的反射

二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。

三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中ab弧与ac构成的角）和弓形角（图4中ab与acb弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线

所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。(二)探索新知

问题1 已知：匀加速直线运动方程为：s(t)v0t刻（t0[0,t]）的瞬时速度。

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

12at，t[0,t]，求：物体在t0时2v若tt0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)s(t0)

tt0vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2已知：曲线yf(x)上点m(x0,y0)，求：m点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线c及曲线c上的一点m，如图，在m外c上另外取一点n，作割线mn，当n沿着c趋近点m时，如果割线mn绕点m旋转而趋于极限位置mt，直线mt就称为曲线c在点m处的切线。

问题解决：取在c上m附近一点n(x,y)，于是割线pq的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线mn的倾角）xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktan为点m处的切线的斜率。

导数的定义

定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限limxx0f(x)fx(0)（为割线mt的倾角）limxx0xx0f(x)f(x0）存在，则称函数

xx0

f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f(x0)。

即 f(x0)（2）

也可记作yxx，of(x)fx(0）

limxx0xx0dydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果 函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：

f(x0)limxx0yf(x)f(x0）

f(x0)limx0xxx0f(x0)limx0f(x0x)f(x0）

x单侧导数的概念

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim（0x）xx0x存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f(x0)。

左导数

f(x0)ylim。x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f(x0)存在f(x0)，f(x0)都存在，且f(x0)=f(x0)。

（三）知识巩固

2例题1 求f(x)x在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。

解：由定义可得：

yf(1x)f(1)(1x)21f(1)limlimlim

x0xx0x0xx2xx2limlim(2x)2 x0x0x附注：在解决切线问题时，要熟悉导数的定义，并能通过导数的几何意义来解决一般问题

例题2设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

证

f(x)f(x)f(x)f(x)

f(0x)f(0)f(x)f(0)lim x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xx 又f(0)lim x0 limx0f(0)0

附注：需要注意公式f(x0)limxx0f(x)f(x0)的灵活运用，它可以变化成其他的形式。

xx0例3 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。

证明

x0limf(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1，x0x0x0x0xx0xlimx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

附注：判断一个函数在某点处是否可导，只需要考虑该点处的左右导数是否相等即可。

（四）应用提高 求曲线yx在点（－1，－1）处的切线方程为(a)x2a.y=2x＋1 b.y=2x－1 c.y=－2x－3 d.y=－2x－2

（五）小结

本节课主要学习导数的基本概念，在经历探究导数概念的过程中，让学生感受导数的形成，并对导数的几何意义有较深刻的认识。

本节课中所用数学思想方法：逼近、类比、特殊到一般。

（六）作业布置

1．已知f(1)2012，计算：

f(1x)f(1)f(1x)f(1)(2)lim

x0x0xxf(1)f(1x)f(12x)f(1)(3)lim(4)lim

x0x04xx(1)lim2.计算函数f(x)2x3在点（1，1）处切线的方程。2