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2017年高考数学必考知识点:等差数列公式

文/网编2

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等差数列是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。下面就和小编一起来深入了解一下高中数学知识点:等差数列公式吧!

高中数学知识点:等差数列公式

等差数列公式an=a1+(n-1)d

a1为首项,an为第n项的通项公式,d为公差

前n项和公式为:Sn=na1+n(n-1)d/2

Sn=(a1+an)n/2

若m+n=p+q则:存在am+an=ap+aq

若m+n=2p则:am+an=2ap

以上n.m.p.q均为正整数

解析:第n项的值an=首项+(项数-1)×公差

前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2

公差d=(an-a1)÷(n-1)

项数=(末项-首项)÷公差+1

数列为奇数项时,前n项的和=中间项×项数

数列为偶数项,求首尾项相加,用它的和除以2

等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列

通项公式:公差×项数+首项-公差

高中数学知识点:等差数列求和公式

若一个等差数列的首项为a1,末项为an那么该等差数列和表达式为:

S=(a1+an)n÷2

即(首项+末项)×项数÷2

前n项和公式

注意:n是正整数(相当于n个等差中项之和)

等差数列前N项求和,实际就是梯形公式的妙用:

上底为:a1首项,下底为a1+(n-1)d,高为n。

即[a1+a1+(n-1)d]* n/2={a1n+n(n-1)d}/2。

高中数学知识点:推理过程

设首项为 , 末项为 , 项数为 , 公差为 , 前 项和为 , 则有:

当d≠0时,Sn是n的二次函数,(n,Sn)是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。

注意:公式一二三事实上是等价的,在公式一中不必要求公差等于一。

求和推导

证明:由题意得:

Sn=a1+a2+a3+。。。+an①

Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1②

①+②得:

2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)

Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2

Sn=n(A1+An)/2 (a1,an,可以用a1+(n-1)d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值,即(A1+An)

基本公式

公式Sn=(a1+an)n/2

等差数列求和公式

Sn=na1+n(n-1)d/2; (d为公差)

Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)

和为 Sn

首项 a1

末项 an

公差d

项数n

表示方法

等差数列基本公式:

末项=首项+(项数-1)×公差

项数=(末项-首项)÷公差+1

首项=末项-(项数-1)×公差

和=(首项+末项)×项数÷2

差:首项+项数×(项数-1)×公差÷2

说明

末项:最后一位数

首项:第一位数

项数:一共有几位数

和:求一共数的总和

本段通项公式

首项=2×和÷项数-末项

末项=2×和÷项数-首项

末项=首项+(项数-1)×公差:a1+(n-1)d

项数=(末项-首项)/ 公差+1 :n=(an-a1)/d+1

公差= d=(an-a1)/n-1

如:1+3+5+7+……99 公差就是3-1

将a1推广到am,则为:

d=(an-am)/n-m

基本性质

若 m、n、p、q∈N

①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq

②若m+n=2q,则am+an=2aq(等差中项)

注意:上述公式中an表示等差数列的第n项。

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